beschränkt,sup, inf, max, min < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Mo 05.08.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | Ist [mm] f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2 [/mm] beschränkt?
Bestimme (falls existent) [mm] sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x) [/mm] |
Hallo, hab mir die ![[]](/images/popup.gif) Funktion mit symbolab angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.
Liege ich richtig, dass [mm] sup f(x)=0 [/mm] und [mm] inf f(x)=1 [/mm] ist. [mm] min f(x) [/mm] und [mm] max f(x) [/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge gehören?
Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Mo 05.08.2019 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Also Beschränkheit meint, dass es eine obere bzw. eine untere Schranke gibt.
1. Falls D = [mm] \IR [/mm]
Es gibt untere Schranken und sogar eine größte untere Schranke inf(f(x)) = 0,
aber keine obere Schranken, also auch keine kleinste obere Schranke sup(f(x)).
D.h. hier wäre f(x) nach unten beschränkt (nach oben unbeschränkt).
2. Falls D = ] -1; 1 [
--- Wenn ich es richtig verstanden habe ist dir dieses Intervall vorgegeben.
Dann gibt es sowohl untere Schranken, auch eine größte untere Schranke inf(f(x)) = 0 => f(x) ist nach unten beschränkt,
als auch obere Schranken, die kleinste ober Schranke sup(f(x)) = 1 => f(x) ist nach oben beschränkt.
In diesem Fall gibt es ein Minimum min(f(x) ) = 0 aber m.E. kein(eindeutiges) Maximum.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 05.08.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bondi,
ergänzend zur vorhandenen Antwort:
Es heißt in der Aufgabenstellung sicherlich z.B. [mm] $\sup_{x\in]-1,1[}f(x)$.
[/mm]
Das ist eine Schreibweise für [mm] $\sup\;\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}$.
[/mm]
Es empfiehlt sich hier, zunächst [mm] $\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}$ [/mm] zu bestimmen (das sogenannte Bild von f).
Es gilt [mm] $\{f(x)\;|\;x\in]-1,1[\}=[0,1[$.
[/mm]
Zur Beschränktheit empfehle ich dir, zunächst eure Definition der Beschränktheit einer Funktion nachzuschlagen.
Wenn du nähere Infos benötigst, solltest du diese Definition hier posten, damit man passend zu eurer Definition antworten kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Sa 10.08.2019 | | Autor: | bondi |
Hi, hier die Definitionen:
[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt offen, falls [mm] \forall x \in D \quad \exists \thinspace \epsilon > 0 [/mm] mit [mm] ] \thinspace x-\epsilon, x+\epsilon \thinspace [ \thinspace \in D [/mm]
[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt abgeschlossen, falls [mm] \IR \thinspace \backslash \thinspace F [/mm] offen ist.
[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt beschränkt, falls [mm] \exists \thinspace \M > 0 [/mm], mit [mm] \vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D [/mm]
[mm] D \subseteq \IR [/mm] heißt kompakt, falls D abgeschlossen und beschränkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Sa 10.08.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hi, hier die Definitionen:
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> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt offen, falls [mm]\forall x \in D \quad \exists \thinspace \epsilon > 0[/mm]
> mit [mm]] \thinspace x-\epsilon, x+\epsilon \thinspace [ \thinspace \in D[/mm]
Das ist OK
>
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt abgeschlossen, falls [mm]\IR \thinspace \backslash \thinspace F[/mm]
> offen ist.
Du meinst sicher [mm] \IR \setminus [/mm] D
>
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt beschränkt, falls [mm]\exists \thinspace \M > 0 [/mm],
......... [mm] \exists [/mm] M > 0....
> mit [mm]\vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D[/mm]
>
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt kompakt, falls D abgeschlossen und
> beschränkt.
So ist es.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 So 11.08.2019 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bondi,
> [mm]D \subseteq \IR[/mm] heißt beschränkt, falls [mm]\exists \thinspace M > 0 [/mm],
> mit [mm]\vert \thinspace x \thinspace \vert \leq M, \thinspace \forall \thinspace x \thinspace \in \thinspace D[/mm]
Das ist die Definition, wann eine TEILMENGE [mm] $D\subseteq\IR$ [/mm] beschränkt heißt.
Für die vorliegende Aufgabe benötigen wir aber eure Definition, wann eine FUNKTION [mm] $f\colon D\to\IR$ [/mm] beschränkt heißt.
Viele Grüße
Tobias
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Ich liebe diesen Thread> Ist [mm]f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2[/mm] beschränkt?
>
> Bestimme (falls existent) [mm]sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x)[/mm]
>
> Hallo, hab mir die
> Funktion mit symbolab
> angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil
> der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.
>
> Liege ich richtig, dass [mm]sup f(x)=0[/mm] und [mm]inf f(x)=1[/mm] ist. [mm]min f(x)[/mm]
> und [mm]max f(x)[/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge
> gehören?
>
> Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen
> Tipp dankbar.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 30.06.2020 | | Autor: | fred97 |
> Ich liebe diesen Thread> Ist [mm]f: ] -1,1 [ \to \IR, f(x)= x^2[/mm]
> beschränkt?
Ja, [mm] 0\le [/mm] f (x) [mm] \le [/mm] 1 für alle x [mm] \in]1,1 [/mm] [
> >
> > Bestimme (falls existent) [mm]sup f(x), inf f(x), max f(x), min f(x)[/mm]
>
> >
> > Hallo, hab mir die
> >
> Funktion mit symbolab
> > angeschaut. Supremum und Infimum müssen nicht Bestandteil
> > der Menge sein. Minimum und Maximum hingegen schon.
> >
> > Liege ich richtig, dass [mm]sup f(x)=0[/mm] und [mm]inf f(x)=1[/mm] ist. [mm]min f(x)[/mm]
> > und [mm]max f(x)[/mm] nicht existieren, da -1 und 1 nicht zur Menge
> > gehören?
> >
> > Bei 'beschränkt'/'nicht beschränkt' wär ich für einen
> > Tipp dankbar.
> >
> >
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Machen wir's mal ganz einfach. Die Fkt. f beschreibt die Normalparabel. Dazu brauchst du kein symbolab, weil du in der Schule aufgepasst hast und den Graphen kennst.
Nun fängt der Graph aber bei x = -1 (ausschließlich) an und hört bei x = 1 (ausschließlich) auf, das Ganze ist eine Schüssel ohne die beiden oberen (besser: linken und rechten) Randpunkte.
Beschränktheit: Sowohl nach oben als auch nach unten, alle y-Werte sind z.B. größer als - 5 000 und kleiner als 5 000.
Ich habe hier extra zwei Werte genommen, die ganz weit weg vom Graphen liegen, damit du merkst, dass Nähe hier keine Rolle spielt.
Die kleinste obere Schranke, also [mm] sup_f, [/mm] ist 1, denn zu jedem kleineren Wert findest du einen größeren Funktionswert. Beispiel: zu [mm] y_S=0,999 [/mm] ist f(0,9995)=0,99900025 größer.
Die größte untere Schranke, also [mm] inf_f, [/mm] ist 0.
0 Wird auch angenommen, denn f(0)=0. Daher ist 0 das Minimum.
1 liegt auf den Randpunkten und wird nicht angenommen, alle anderen Fkt.-Werte sind kleiner, deshalb besitzt die Funktion kein Maximum.
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