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Hallo Zusammen,
Irgendwie kann ich mit folgendem Satz nicht viel anfangen:
Tschebyschow-Approximation mit Polynomen:
Seien [mm]X=C([a,b]),\left\|\cdot{}\right\|=\left\|\cdot{}\right\|_{\infty,[a,b]},Y=\Pi_n[/mm] und [mm]x\in X[/mm]. Dann gibt es genau eine beste Approximation zu [mm]x\![/mm]. [mm]p^{\*}\in\Pi_n[/mm] ist genau dann beste Approximation von [mm]x\![/mm], also
[mm]\left|\left|p^{\*}-x\right|\right|_{\infty}\le\left|\left|p-x\right|\right|_{\infty}\quad\forall p\in\Pi_n[/mm],
wenn die Fehlerfunktion [mm]\epsilon := p^{\*}-x[/mm] eine Alternante der Länge [mm]n+2\![/mm] besitzt, das heißt wenn Punkte [mm]a\le t_1 < t_2 < \dotsm < t_{n+2} \le b[/mm] existieren mit
[mm]\epsilon\left(t_i\right) = \sigma\cdot{}(-1)^i\left|\left|\epsilon\right|\right|_{\infty}[/mm], [mm]i=1,2,\dotsc,n+2\![/mm], mit einem [mm]\sigma\in\{-1,1\}[/mm].
Was genau ist unter der besten Approximation zu verstehen? Es geht ja offenbar um die Güte eines Polynoms zu einer gegebenen stetigen(?) Funktion. Wäre Klasse, wenn mir jemand ein oder zwei Beispiele dazu geben könnte?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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Hallo Leute!
Ich habe hier einen "Beweis"(?) zu einer Aufgabe vor mir liegen mit dem ich irgendwie nur wenig anfangen kann. Aber zuerst die Aufgabe:
Sei [mm] $\Pi_n$ [/mm] der Raum der reellen Polynome vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ und $f [mm] \in C\left[a,b\right]$.
[/mm]
Zeige: Nimmt $p - f$ den Wert [mm] $\left|\left|p - f\right|\right|_{\infty}$ [/mm] in mindestens $n + 2$ Stellen $a [mm] \le x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < [mm] \dotsb [/mm] < [mm] x_{n+1}$ [/mm] mit wechselndem Vorzeichen an, also
[mm] $\left(p-f\right)\left(x_i\right) [/mm] = [mm] \sigma\left(-1\right)^i\left|\left|p-f\right|\right|_{\infty},\; [/mm] i = [mm] 0,\dotsc,n+1;\;\sigma \in \left\{-1,1\right\}$
[/mm]
so ist $p$ beste Approximation von $f$ in [mm] $\Pi_n$.
[/mm]
Und so lauten dann die Beweisbruchstücke:
Polynom $q [mm] \in \Pi_n$ [/mm] mit [mm] $\left|\left|f-q\right|\right|_{\infty} [/mm] < [mm] \left|\left|f-p\right|\right|_{\infty} \mathord{\mathrel{\mathop = ^{\begin{subarray}{c}\left(\star\right)\end{subarray}}}\mathrel{:}}\ [/mm] m$.
Sei o.b.d.A. [mm] $\left(f-p\right)\left(x_i\right) [/mm] = [mm] +m\quad\left(m > 0\right)$. [/mm] Dann nimmt wegen [mm] $\left(p-q\right)\left(x_i\right) [/mm] = [mm] \underbrace{\left(f-q\right)\left(x_i\right)}_{< m} [/mm] - [mm] \underbrace{\left(f-p\right)\left(x_i\right)}_{= m} [/mm] < 0$. [mm] $\left(p-q\right)\left(x_{i+1}\right) [/mm] = [mm] \underbrace{\left(f-q\right)\left(x_{i+1}\right)}_{> -m} [/mm] - [mm] \underbrace{\left(f-p\right)\left(x_{i+1}\right)}_{= m} [/mm] > 0$. Das Polynom $p-q [mm] \in \Pi_m$ [/mm] in den $n + 2$ Stützstellen [mm] $x_0,\dotsc,x_{n+1}$ [/mm] wechselnde Vorzeichen hat.
[mm] $\Rightarrow p-q\texttt{ sind }n+1\texttt{ NS.}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] p-q [mm] \equiv 0\texttt{ im Widerspruch zu }\left(\star\right)\;\Box$
[/mm]
Ja ... Also ehrlich gesagt, verstehe ich diesen "Beweis" schon deshalb nicht, weil dort klar ausformulierte Sätze fehlen. Aber auch sonst ist mir dort nicht so viel klar. Versteht vielleicht jemand dennoch die obige Beweisidee(?).
Um ehrlich zu sein, bin ich mir noch nicht mal mit dem sicher, was diese Eigenschaft [mm] $\left(p-f\right)\left(x_i\right) [/mm] = [mm] \sigma\left(-1\right)^i\left|\left|p-f\right|\right|_{\infty}$ [/mm] bedeuten soll. Heißt das nun, daß das Polynom p bei $n + 2$ Stützstellen "den maximalen Fehler erreicht", oder so? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke für eure Hilfe!
Grüße
Karl
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Hallo Karl,
die Formel [mm] (p-f)(x_i)=\sigma\cdot (-1)^i\cdot [/mm] m , [mm] m=||f-p||_{\infty}
[/mm]
sagt doch gerade, dass die Werte [mm] (p-f)(x_i) [/mm] alternierend gleich m bzw. -m sind,
und [mm] \sigma [/mm] ist 1 gdw [mm] (p-f)(x_0)=m [/mm] (sonst, d.h. falls [mm] (p-f)(x_0)=-m, [/mm] ist [mm] \sigma=-1).
[/mm]
Der von Dir zitierte Beweis geht dann doch so: Wenn es eine bessere Approx q in dem
Polynomraum gaebe, so koennte man zeigen, dass dann das Polynom p-q (was ja auch
vom Grad n ist !) an n+2 Stellen alternierend strikt positiv und strikt negativ ist, d.h.
irgendwo dazwischen muessen n+1 Nullstellen von p-q liegen.
Das impliziert dann, da ja p-q nur Grad n hat, dass p-q das Nullpolynom sein muss,
also p=q, ein Widerspruch dazu, dass q bessere Approx ist.
Hilft's ?
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 21.03.2005 | | Autor: | BastiR |
Hallo erstmal,
es geht bei dir wohl um die Polynominterpolation. Gesucht ist das Polynom, welches deine Funktion am besten wiedergibt. Da die Polynome bei gleichen Stützstellen immer identisch sind, kannst du den Fehler deines Polynoms also nur durch die Wahl des Abstandes deiner Stüzstellen beeinflussen. Du kannst zum Beispiel äquidistante Stützstellen wählen, aber am besten sind halt die Tschebyscheff-Abstände. Bei Beispielen kommt es drauf an, welche Arten der Polynominterpolation ihr schon hattet.
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Hallo Karl,
Auch wenn die Klausur schon vorbei ist.
> Also, was genau ist den nun unter der besten Approximation
> zu verstehen?
Man hat einen Teilraum des Raumes in dem das zu approximierende Element existiert. Man sucht die Bestapproximation des Elements ind raucht man eine Norm auf dem Gesamtraum diesem Raum. Das ist genau das Element des Teilraum das den geringsten Abstand(Norm) zum zu approximierenden element hat.
Bsp.: 2,4 aus den reellen Zahlen als Teilraum die natürlichen Zahlen,Betragsnorm dann ist 2 die Bestapproximation weil jede andere natürliche Zahl einen größeren Abstand zu 2,4 hat.
gruß
mathemaduenn
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