bestimme das Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist f(x)= [mm] 32(x+2)/x^3
[/mm]
a)Bestimmen sie eine Sstammfunktion von f.
b)Berechnen sie anschließend den Inhalt der Fläche A, die im ersten Quadranten vom Graphen von f , der x- achse sowie den senkrechten x=1 und x=k >1 begrenzt wird |
Hallo....
Wie bestimme ich denn eineStammfunktion einer gebrochen ´rationalen Funktion?
Ich denke man müsste die Funktion erst irgendwie in Teilbrüche zerlegen, also...
[mm] 32x/x^3 [/mm] - [mm] 64/x^3
[/mm]
stimmt das denn überhaubt?
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Hallo,
kürze im 1. Summanden noch x, also [mm] \bruch{32}{x^{2}}=32x^{-2}, [/mm] jetzt intgriere jeden Summanden einzeln,
Steffi
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Dankeschön erstmal....
Glaube die Stammfunktion habe ich jetzt
[mm] F(X)=\integral_{a}^{b} [/mm] = -32x^-2 - 64x^-3
wobei a=1 ist und b=k oder?
Dann Rechne ich das Integral für 1 und dann für k, indem ich nach k umstelle, aber wie stell ich denn nach k um???
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Hi, kleinekitty,
> Glaube die Stammfunktion habe ich jetzt
> [mm]F(X)=\integral_{a}^{b}[/mm] = -32x^-2 - 64x^-3
Nö!
So wäre das richtig:
[mm] \integral{(32x^{-2}+64x^{-3}) dx}
[/mm]
= [mm] -32x^{-1} -32x^{-2} [/mm] + c.
Da nur EINE Stammfunktion gesucht ist, kannst Du das c auch weglassen
und - wenn Du möchtest - kannst Du's noch "schöner" schreiben als:
F(x) = [mm] -32*\bruch{x+1}{x^{2}}
[/mm]
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Ja Dankeschön...
Das kann ich nachvollziehen, aber was mache ich nun damit?
b)Berechnen sie anschließend den Inhalt der Fläche A, die im ersten Quadranten vom Graphen von f , der x- achse sowie den senkrechten x=1 und x=k >1 begrenzt wird
Welcher Flächeninhalt ergibt sich, wenn k -->unendlich geht?
Ich habe da als Lösung
A=(-32k^-1-32k^-2)+64
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] =63.9 (n=k)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mi 13.06.2007 | | Autor: | nik03 |
Hallo,
dein Ausdruck für die Fläche stimmt doch schon in der Form, also eine Stammfunktion F(k). Wenn du nun k gegen unendlich gehen lässt, also wie du es schon aufgeschrieben hast den Grenzwert bildest, dann werden die Brüche mit k Beteiligung gegen Null gehen. Somit wird der ganze Klammerausdruck zu Null und es bleibt dann natürlich nur noch 64 übrig. Was dann somit deine Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen f selbst und der Senkrechten x=1, allerdings im IV ten Quadranten ist... Wenn du die Möglichkeit hast f(x) zu plotten sieht man das auch ganz gut...
Grüße
nick03
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Das ist doch schonmal schön zuhören das die Rechnung im Prinzip richtig ist....:)
Danke...
Aber wieso ist das die Fläche für den IV.Quadranten? was muss ich denn machen um auf die Richtige Lösung für den I. zukopmmen?
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:30 Mi 13.06.2007 | | Autor: | nik03 |
f(x) ist eine Hyperbel und ist im zweiten Quadranten (für x<0) und vierten (für x > 0) definiert. Vielleicht noch einmal kurz zur Erinnerung, die Quadranten sind im Koordinatensystem gegen den Uhrzeigersinn nummeriert(im mathematisch positiven Sinn), beginnend oben rechts. Also die Aussage im ersten Quadranten versteh ich nicht so ganz... vielleicht einfach nur ein Fehler...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Do 14.06.2007 | | Autor: | nik03 |
da hat sich meinerseits ein kleiner Fehler eingeschlichen. f(x) ist auch im ersten Quadranten definiert und zwar für 2 < x < [mm] \infinity. [/mm] Im zweiten wie gehabt und im vierten 0 < x < 2. Nun wird das auch mit der Fläche klarer zwischen f(x), x-Achse und x=k > 1 im ersten Quadranten. Es muss nun von x=2 bis x = k > 1 (bis unendlich) integriert werden, da für x<2 der Graph keine Fläche mit der x-Achse im ersten Quadranten einschliesst.
dann kommt man auf folgenden Ausdruck:
[mm] \int_{2}^{k}{\frac{32}{x^2}+\frac{64}{x^3}}=[-\frac{32}{x}-\frac{32}{x^2}]_{2}^k=24-32(\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})
[/mm]
Grenzwert ergibt:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} 24-32(\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2})=24
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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