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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:22 Di 24.10.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | | Bestimme alle harmonischen Funktionen u : [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] die für alle x [mm] \in \IR^2 [/mm] und alle [mm] \lambda\ge [/mm] 0 [mm] u(\lambda x)=\lambda^2u(x) [/mm] und u(1,0)=1 erfüllen. |
Hallo ihr Lieben,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe
damit eine Fkt harmonisch ist, muss u [mm] \in \C^2(\Omega) [/mm] sein und [mm] \Delta u(x)=\sum_{i=1}^{n}u_{x_i,x_i}=0 [/mm] für alle x [mm] \in \Omega.
[/mm]
wenn ich mir jetzt meine Funktion angucke:
x [mm] \in \IR^2, [/mm] also betrachte ich x=(x,y)
also etwas wie
[mm] u(\lambda x)=u(\lambda(x,y))=\lambda^2 u(x,y)=\lambda^2 [/mm] u(x)
gucke ich mir jetzt die partiellen Ableitungen an
[mm] u_x=\lambda u_x(\lambda(x,y))
[/mm]
[mm] u_{xx}=\lambda^2u_{xx}(x,y)
[/mm]
(für y anlaog)
und damit u harmonisch ist, muss gelten
[mm] \lambda^2(u_{xx}(\lambda(x,y))+u_{yy}(\lambda(x,y)))=0 [/mm] oder?
Zur Vereinfachung jetzt [mm] \lambda=a [/mm]
U(a(x,y)) = [mm] (ax)^2 [/mm] - [mm] (ay)^2 [/mm] = [mm] a^2 (x^2-y^2) [/mm] = [mm] a^2 [/mm] u(x,y) so eine oder? Die würde auch u(1,0)=1 erfüllen. Aber wie finde ich alle?
wie geht man da jetzt am besten weiter vor?
Vielen Dank und schönen Abend noch :)
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Wie wärs mit raten? Irgendeine Funktion wirst du ja wohl kennen...
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x $ [mm] \in \IR^2, [/mm] $ also betrachte ich x=(x,y)
also etwas wie
$ [mm] u(\lambda x)=u(\lambda(x,y))=\lambda^2 u(x,y)=\lambda^2 [/mm] $ u(x)
Ich würde mal sagen, dass das eine wenigstens ziemlich
unglückliche Bezeichnungsweise ist.
Soll die erste Komponente des Vektors x wirklich mit dem
Vektor selbst übereinstimmen ?
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 26.10.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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