bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch {1-\wurzel{1-x²}}{\wurzel{1-x²}} dx} [/mm] |
hab versucht dieses integral mit substitution zu berechnen:
x = sin(y)
dx= cos(y)
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch {1-\wurzel{1-x²}}{\wurzel{1-x²}} dx}=\integral_{-1}^{1}{\bruch {1-cos(y)}{cos(y)}cos(y) dy}=\integral_{-1}^{1}{(1-cos(y)) dy}= [/mm] y - sin(y) = arcsin(x) - x
die letzten zwei schritte von (-1) bis 1 (weiß nicht wie man das hier richtig eingibt, sorry...)
erste frage: stimmt das bis hierher oder muss ich die grenzen irgendwie verändern wegen der substitution und wenn ja wie?
und wenn nicht, wenn ich die grenzen einsetze bekomm ich ja:
arcsin(1)-1-arcsin(-1)+1= arcsin(1)-arcsin(-1) = 0 ???
hab mir mal das schaubild von arcsin(x) angeschaut, geht doch bei 1 und -1 gegen unendlich, muss ich dafür dann t einsetzen und den grenzwert t gegen unendlich bilden ??
okay, wär super, wenn mir jemand weiterhhelfen könnte...
Gruß yela ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Ina05 |
Hi,
wenn Du die Substitutionsregel angewendet hast, solltest Du die Integralsgrenzen ändern. D. h. anstatt:
> [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch {1-\wurzel{1-x²}}{\wurzel{1-x²}} dx}=\integral_{-1}^{1}{\bruch {1-\cos(y)}{\cos(y)}\cos(y) dy}
[/mm]
solltest Du folgendes schreiben:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch {1-\wurzel{1-x²}}{\wurzel{1-x²}} dx}=\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\bruch {1-\cos(y)}{\cos(y)}\cos(y) dy}
[/mm]
Du hast [mm] x=\sin(y) [/mm] geschrieben, d.h. für x=1 ist [mm] y=\pi/2 [/mm] und für x=-1 ist [mm] y=-\pi/2
[/mm]
Dann hast Du weiter:
[mm] =\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{(1-\cos(y)) dy}=
[/mm]
[y - [mm] \sin(y) ]_{-\pi/2}^{\pi/2}= \pi/2-1-(-\pi/2+1) [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Ich hoffe es kann Dir weiterhelfen,
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Riley |
ah, okay, ganz vielen lieben dank für deine erklärung!! d.h. ich muss immer die grenzen mitnehmen (also für x einsetzen beim substituieren) und dann kann ich sie zum schluss einfach für y einsetzen und muss nicht zurücksubstituieren, stimmt das so?? ... bin da grad voll durcheinander gekommen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
Es gibt zwei Wege: Du löst das entsprechende Integrasal zunächst als unbestimmtes Integral und musst dann am Ende die Substitution (hier bei Dir z.B. $x \ := \ [mm] \sin(y)$ [/mm] ) wieder rückgängig machen ("re-substituieren").
Oder Du subsituierst auch die Integrationsgrenzen gleich zu Beginn und kannst dann sofort nach der Integration diese neuen Grenzen einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Riley |
dankeschön für deine erklärung, das ist gut mit den zwei möglichkeiten! ;)
jetzt hab ich noch ne frage, und zwar bei der regel [mm] \integral_{}^{}{\bruch{g'(x)}{g(x)} dx} [/mm] = ln (g(x))
was passiert hier wenn ich grenzen (z.B. a, b)hab?
kann ich sie dann einfach einsetzen: ln (g(b)) - ln(g(a)) ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Riley!
> jetzt hab ich noch ne frage, und zwar bei der regel
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{g'(x)}{g(x)} dx}[/mm] = ln (g(x))
Genauer mit Betragsstrichen und Integrationskonstante:
[mm] $\integral_{}^{}{\bruch{g'(x)}{g(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\red{|}g(x)\red{|} [/mm] \ [mm] \blue{+C}$
[/mm]
> was passiert hier wenn ich grenzen (z.B. a, b)hab?
> kann ich sie dann einfach einsetzen: ln (g(b)) - ln(g(a)) ??
Ja, das darfst Du, weil das Ergebnis (= die Stammfunktion) wieder in Abhängigkeit ist von der Variablen $x_$ . Und da die Grenzen $a_$ und $b_$ ebenfalls "x-Grenzen" waren ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mo 13.03.2006 | | Autor: | Riley |
okay super, danke dir vielmals! ;)
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