bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-3}^{-2} \bruch{dx}{(x-1)^2\wurzel{x^2-2x-3}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt Hallo Zusammen! Ich muss dieses integral nächsten donnerstag in der uni vorrechenen! hab es schon mit partieller integration probiert aber bin nicht weiter gekommen! wäre super wenn ich ein paar ideen oder hilfestellungen bekommen könnte!
vielen dank schonmal im vorraus
gruß Lukas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 11.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich weiß jetzt nicht obs richtig ist, aber meine erste Idee wäre das erstmal umzuformen:
[mm] \integral_{-3}^{-2} \bruch{dx}{(x-1)^2\wurzel{x^2-2x-3}}
[/mm]
[mm] =\integral_{-3}^{-2} \bruch{dx}{(x-1)^2\wurzel{(x-1)^2-4}}
[/mm]
Dann wäre es ja offensichtlich das x-1=z zu substituieren:
dann wäre [mm] \bruch{dz}{dx}=z'=1 [/mm] und daraus folgt dz=dx.
Die Grenzen wären dann von -4 bis -3
[mm] =\integral_{-4}^{-3} \bruch{dz}{z^2\wurzel{z^2-4}}
[/mm]
Das sieht schon etwas einfacher aus, aber ich muss jetzt raten.
Vielleicht erstmal Partialbruchzerlegung oder nochmal Substituieren, vielleicht [mm] a=z^2-4 [/mm] oder um die Wurzel wegzukriegen [mm] a^2=z^2-4.
[/mm]
VIelleicht konnte ich dir bis hierhin schon mal etwas weiterhelfen.
Meine Substitution stimmt übrigens 100%ig. Habs mit Mathematica mal nachgerechnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
das ist eine idee ich werde es versuchen mal weiter zu rechnen!
mein prof meinte das integral sei mit hilfe der formelsammlung zu lösen allerdings sei noch ein kleiner trick dabei!
ich habe als erstes das integral geteilt:
[mm] \int_{-3}^{-2} \bruch {1}{(x-1)^2}*\bruch {1}{\wurzel{x^2-2x-3}}dx, [/mm]
denn diese beiden terme kann ich mit hilfe der formelsammlung sowohl ableiten als auch integrieren!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> das ist eine idee ich werde es versuchen mal weiter zu
> rechnen!
> mein prof meinte das integral sei mit hilfe der
> formelsammlung zu lösen allerdings sei noch ein kleiner
> trick dabei!
> ich habe als erstes das integral geteilt:
> [mm]\int_{-3}^{-2} \bruch {1}{(x-1)^2}*\bruch {1}{\wurzel{x^2-2x-3}}dx,[/mm]
>
> denn diese beiden terme kann ich mit hilfe der
> formelsammlung sowohl ableiten als auch integrieren!
Wie wärs also, wenn Du nun partielle Integration anwendest: zweiten Faktor integrieren, ersten ableiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
ja das habe ich ja versucht! aber es bleibt immer ein rest über den ich nicht wegbekomme!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Fr 11.01.2008 | | Autor: | weduwe |
wäre eventuell eine möglichkeit, wobei ich die zahlenfaktoren weglasse
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{ dz}{z²\sqrt{z²-4}}}\sim\integral_{}^{}{\frac{du}{u²\sqrt{u²-1}}}\sim\integral_{}^{}{\frac{sinhv \cdot dv}{sinhv\cdot cosh²v}}=\integral_{}^{}{\frac{dv}{cosh²v}}
[/mm]
und dieses integral sollte in der tafel stehen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
bist du sicher dass man das "entspricht ungefähr" annehmen kann? die nehmen das meistens recht penibel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Fr 11.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> bist du sicher dass man das "entspricht ungefähr" annehmen
> kann? die nehmen das meistens recht penibel!
da bin ich mir sicher, das "ungefähr" bedeutet - wie oben angegeben -, dass noch numerische faktoren fehlen,
wenn du z.b. aus der wurzel 4 heraushebst und dann [mm] \frac{z}{2}= [/mm] u setzt fehlen ein paar potenzen von 2, die solltest du aber selbst ermitteln (können)
im endeffekt steht dann da:
[mm] I=\frac{1}{4}\integral_{}^{}{\frac{dt}{cosh²t}}=\frac{1}{4}tanht
[/mm]
und das führt durch rücksubstitution auf
[mm] I=\frac{\sqrt{(x+1)(x-3)}}{4(x-1)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
aber wie soll ich dass denn erklären ich kann doch nich aus der 4 einfach eine 1 machen!!! ich hab alle vorschläge versucht aber zum ziel komm ich irgendwie doch nicht :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 13.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> aber wie soll ich dass denn erklären ich kann doch nich aus
> der 4 einfach eine 1 machen!!! ich hab alle vorschläge
> versucht aber zum ziel komm ich irgendwie doch nicht :-(
ich würde es halt einmal rechnen und die rechnung hier reinstellen
DU sollst es doch auf der uni vorstragen, nicht wir!
das sind doch alles elementare umformungen
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{ dx}{(x-1)²\sqrt{x²-2x-3}}}=\integral_{}^{}{\frac{ dx}{(x-1)²\sqrt{(x-1)²-4}}}
[/mm]
nun setzt du [mm] \frac{x-1}{2}=z\to [/mm] dx=2dz und hast damit
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{ 2dz}{4z²\cdot 2\sqrt{z²-1}}}=\frac{1}{4}\integral_{}^{}{\frac{ dz}{z²\sqrt{z²-1}}}
[/mm]
und nun geht es mit der substitution z = cosht weiter
wenn du noch weitere fragen hast, dann stelle zuerst deine eigenen rechnungen hier rein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> ja das habe ich ja versucht! aber es bleibt immer ein rest
> über den ich nicht wegbekomme!
Du hast recht: so einfach gehts nicht, wie ich gedacht hatte. Es ist:
[mm]\int\frac{1}{(x-1)^2\sqrt{x^2-2x-3}}\;dx=\frac{\sqrt{x^2-2x-3}}{4(x-1)}+C[/mm]
Vielleicht kannst Du, durch Analysieren des Verhaltens dieser Stammfunktion(en) beim Ableiten, eine Art "reverse engineering" für das "Aufleiten" machen...
P.S. Siehe ![[]](/images/popup.gif) http://integrals.wolfram.com
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 13.01.2008 | | Autor: | alexwie |
Hi
Ich habe hier eine Lösung wie du auf das unbestimmte Integral kommst. Du musst dann nur noch rücksubstituieren und einsetzten. Ich hoffe aber dass du de Hyperbelfunktionen kennst sonst wird dir das nicht viel bringen. Also:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(x-1)^{2}\wurzel{x^{2}-2x-3}}}=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{dx}{(x-1)^{2}\wurzel{\bruch{(x-1)^{2}}{4}-1}}}
[/mm]
Dann Substitution mit
x=2coshz + 1
dx = 2sinhz dy
Also
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{2sinh(z)dz}{4(cosh(z))^{2}\wurzel{cosh(z)^{2}-1}}}=\bruch{1}{4}\integral_{}^{}{\bruch{sinh(z)dz}{(cosh(z))^{2}sinh(z)}}=\bruch{1}{4}\integral_{}^{}\bruch{dz}{cosh^{2}(z)}=\bruch{1}{4}tanh(z)
[/mm]
Jetzt noch rücksubstiuieren und einsetzen.
Lg Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Luke1986 |
Wieso setzt du denn x=coshz + 1 (ich verstehe das " + 1 " nicht:
ich habe gerechnet:
[mm] \int_{}^{} \bruch{1}{(x-1)^2(\wurzel{x^2-2x-3}} [/mm] dx = [mm] \int_{}^{} \bruch{1}{(x-1)^2(\wurzel{(x-1)^2-4}} [/mm] dx
das ist doch die Form: [mm] R(x,\wurzel{x^2-a^2}) [/mm] mit a=2 . laut FS ist zu substituieren: x=acosh(t) = 2cosh(t) [mm] \Rightarrow \bruch{dx}{dz}=2sinh(t) \gdw [/mm] dx=2sinh(t)dt
Oder habe ich einen Denkfehler drin?
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
