bestimmtes Integral auflösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | SIRprise |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{x^{2}-1}{x*(x^{2}+1)} dx} [/mm] = -ln(x) + [mm] ln(x^{2}+1) [/mm] |(1 bis 2) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie man auf -ln (x) kommt, kann ich mir noch denken, denn das wird wohl die Stammfunktion von -(1/x) sein, aber wie kommt man auf das andere? Partielle Integration habe ich probiert, ist aber wohl unnötig weil es zum Integrieren sicher wie beim Differenzieren eine Summenregel gibt.
Danke schonmal für die Hilfe!
Achso: Die Aufgabe war mal Klausuraufgabe (Ana1 für Ingenieure), aber die Musterlösung ist etwas lückenhaft.
(Ich hoffe nun alles beachtet zu haben und dass der Senden-Button jetzt nicht mehr klemmt sonst war es das letzte Mal)
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> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{x^{2}-1}{x*(x^{2}+1)} dx}[/mm] = -ln(x) + [mm]ln(x^{2}+1)[/mm] |(1 bis 2)
Versuche einmal, den Integranden in eine Summe der Form
[mm] \bruch{A}{x}+\bruch{Bx+C}{x^2+1}
[/mm]
zu zerlegen !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Fr 18.07.2008 | | Autor: | SIRprise |
Du meinst vermutlich Partialbruchzerlegung - dann erhalte ich [mm] \bruch{(A+B)x^{2}+Cx+A}{x(x^{2}+1)} [/mm] damit ergibt sich A=-1, B=2 und C=0 und das Integral lässt sich schreiben als [mm] \integral_{1}^{2}{-\bruch{1}{x}+\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}
[/mm]
Das hatte ich auch schon einmal und dann sieht man ja gleich, dass es mit -ln(x) beginnen muss
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> Du meinst vermutlich Partialbruchzerlegung - dann erhalte
> ich [mm]\bruch{(A+B)x^{2}+Cx+A}{x(x^{2}+1)}[/mm] damit ergibt sich
> A=-1, B=2 und C=0 und das Integral lässt sich schreiben als
> [mm]\integral_{1}^{2}{-\bruch{1}{x}+\bruch{2x}{x^{2}+1} dx}[/mm]
>
> Das hatte ich auch schon einmal und dann sieht man ja
> gleich, dass es mit -ln(x) beginnen muss
Genau, und der andere Term lässt sich mit der Substitution
[mm] x^2+1=u [/mm] ebenfalls leicht integrieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | SIRprise |
ah, danke, jetzt hab ich's ! dachte es ginge auch mit partieller integration (auch wenn's länger dauert) bzw. ganz ohne irgend sowas
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