\beta bestimmen/span(M_{\beta} < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 So 28.11.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Für [mm] \beta \in \IR [/mm] sei [mm] M_{\beta} [/mm] die folgende Teilmenge des [mm] \IR^{3}:
[/mm]
[mm] M_{\beta}:=\left\{\vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{5 \\ 7 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ \beta}\right\} [/mm]
a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus alle [mm] \beta \in \IR, [/mm] für die
(i) jeder Vektor [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} \in \IR^{3} [/mm] in [mm] span(M_{\beta} [/mm] enthalten ist.
(ii) die Vektoren in [mm] M_{\beta} [/mm] linear abhängig sind.
(iii) [mm] M_{\beta} [/mm] eine Basis ist. |
Also erstmal fehlt oben bei [mm] "M_{\beta} [/mm] die rechte Klammer. Das liegt daran, dass ich nicht weiß, wie ich sie dahin bekomme! *peinlich*
Und ich wollte keinen einfachen "kleinen" Klammern nehmen, weil das doof aussah!
Nun meine Frage, bzw. muss ich erstmal etwas zum Verständnis wissen:
Die lineare Hülle ist hier mit den 3 Vektoren gegeben! Sind das die 3 Vektoren, die linear unabhängig sind? Also sie müssen durch Linearkombinantion den Nullvektor ergeben und die jeweiligen Koeffizienten sind [mm] a_{1}=a_{2}=a_{3}=0?!
[/mm]
(Deshalb im Betreff auch "Definition verwechselt???"! Ich bin mir nicht ganz sicher, was diese Vektoren angeben oder was das für welche sind. Basisvektoren? einfach irgenwelche Vektoren die sich linear kombinieren lassen? Aber irgendwas müssen sie doch dann ergeben!?!?)
Also ich habe ja schon angefangen mit Rechnen. Wir sollen ja mit Gauß berechnen.
Meine eigentliche Frage ist quasi ob das, was ich hier im Folgenden berechne, Teilaufgabe (i) oder (ii) ist!
Also hier erstmal meine Rechnung:
(ich habe den Vektor [mm] \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} [/mm] "umbenannt" in [mm] \vektor{ x \\ y \\ z})
[/mm]
I. 2x + 5y = 0
II. 3x + 7y + z = 0
III. 3x + y + [mm] \beta [/mm] = 0
I.:
2x + 5y = 0
2x = -5y
x = -2,5y
x in II.:
3(-2,5y) + 7y + z = 0
-0,5y + z = 0
z = 0,5y
x und z in III.:
3(-2,5y) + y + [mm] \beta [/mm] = 0
-6,5y + [mm] \beta [/mm] = 0
[mm] \beta [/mm] = 6,5y [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \bruch{\beta}{6,5}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] in z = 0,5y:
z = [mm] (\bruch{1}{2})(\bruch{\beta}{6,5})
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = 13z oder [mm] \beta [/mm] = 6,5 y
Also ist jeder Vektor [mm] \vektor{-2,5y \\ y \\ 0,5y} [/mm] in [mm] span(M_{\beta}) [/mm] enthalten für [mm] \beta [/mm] = 6,5y
Ich habe [mm] \beta [/mm] jetzt so berechnet, dass die Vektoren linear unabhängig sind und eine Basis bilden, oder? Also ich habe Aufgabe (iii) berechnet, oder?
Weil die Basis besteht doch aus Vektoren die linear unabhängig sind!?
Heißt, wenn ich Aufgabe (ii) berechnen will, dann muss [mm] \beta \in \IR [/mm] aber [mm] \beta \not= [/mm] 6,5y (oder 13z)
Wenn ich das allerdings errechnet habe, wie errechne ich dann Aufgabe (i)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lexjou!
> Also erstmal fehlt oben die rechte Klammer.
> Das liegt daran, dass ich nicht weiß, wie ich sie dahin bekomme!
> Und ich wollte keinen einfachen "kleinen" Klammern nehmen,
> weil das doof aussah!
Ich habe das oben mal korrigiert. Wenn Du mit dem Mauszeiger über die Formel siehst, kannst Du den entsprechenden Latex-Code erkennen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
um Arbeit zu sparen schreib ich deine Vektoren als v1,v2,v3
Aufgabe a) sagt , dass du JEDEN Vektor [mm] x=(x,y,z)^T [/mm] als
[mm] \lambda_1*v1+\lambda_2*v2+\lambda_3v3=x [/mm] schreiben kannst.
(wenn du das kannst hast du iii) auch schon.
was du gemacht hast ist also falsch.
du kannst auch die [mm] \beta [/mm] suchen, so dass die 3 Vektoren lin. unabh. sind, dann bilden sie eine Basis und man kann jeden Vektor daraus lin. kombinieren.
Aber du sollst Gauss anwenden.
Da schreibt man ein GS erstmal als Matrix, dann bringt man die auf Dreieckform. was du machst ist aus der Schule übernommenes Einsetzungsverfahren, das mag hier noch klappen ist aber fast immer unübersichtlich und Fehlerabh.
(das GS, das du lösen sollst ist eh schlechter dazu geeignet.)
Die Lin. Hülle sind die menge aller Vektoren, die du aus den 3 lin. kombinieren kannst. wenn sie lin unabhängig sind, dann ist das ganz [mm] \IR^3, [/mm] wenn nicht nur ein 2d oder 1d Unterraum.
also du hast mit i, ii und iii nur eine Aufgabe!
Deine form für lin unabh.
"Also sie müssen durch Linearkombinantion den Nullvektor ergeben und die jeweiligen Koeffizienten sind $ [mm] a_{1}=a_{2}=a_{3}=0?! [/mm] $
ist schlecht.
richtig: ihre lin. Komb ergibt nur 0 falls die Koeff. 0 sind. d.h. ja eigentlich es gibt keine Linearkomb die sie zu 0 addiert. und nicht sie müssen 0 ergeben..
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Di 30.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Leduart,
also das mit dem LGS ist mir dann als ich fertig war auch eingefallen. Also dass ich das ganze Ding falsch gemacht habe!
Ich hab allerdings nicht alles ganz verstanden was Du geschrieben hast.
Also ich soll ja definitiv nur [mm] \beta [/mm] bestimmen!
Wie genau meintest Du das mit der Dreiecksform?
Sagen wir mal ich will [mm] \beta [/mm] bestimmen, sodass die drei Vektoren lin. unabhängig sind. Dann würde mein Gauß folgendermaßen aussehen:
[mm] \vmat{ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & \beta & 0 }
[/mm]
Und das würde ich auf Dreiecksform bringen, sodass das untere Dreieck aus Nullen besteht. Und was genau hab ich dann errechnet?
Wenn ich es auf NZSF bringe, dann kann ich doch eigentlich errechnen, für welche Koeffizienten mein [mm] M_{\beta} [/mm] lin. anhängig ist, oder?
Und bei [mm] \beta=13 [/mm] ist es auf jeden Fall linear abhängig, wenn die Koeffizienten -2,5a für den ersten Vektor, a für den zweiten Vektor und -0,5a für den dritten Vektor. (also die Koeffizienten sind in einer gewissen Abhängigkeit voneinander...)
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Hallo,
ich fange nochmal mit der Aufgabenstellung an:
gegeben hast Du drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_{\beta} \in \IR^3.
[/mm]
Wenn Du sagen sollst, für welches [mm] \beta [/mm] jeder Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] in [mm] span\{v_1, v_2, v_{\beta}\} [/mm] enthalten ist, ist dies die Frage danach, für welche [mm] \beta [/mm] die Menge [mm] \{v_1, v_2, v_{\beta}\} [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Der [mm] \IR^3 [/mm] ist ein VR der Dimension 3, und wenn eine 3-elementige Menge ein Erzeugendensystem dieses Raumes ist, ist sie eine Basis, also linear unabhängig.
Du kannst für Frage i) also untersuchen, für welche [mm] \beta [/mm] die drei Vektoren linear unabhängig sind, und Frage iii) hast Du damit gleichzeitig abgehakt.
Das kannst Du mit dem Gaußalgorithmus tun, wenn Determinanten bereits behandelt wurden, kannst Du auch diese nutzen.
Frage ii) ist dann mit Frage i) beantwortet, es sind genau die [mm] \beta, [/mm] die es bei i) nicht sind.
Zur Beantwortung der Frage nach der linearen Unabhängigkeit ist, wie im Thread bereits besprochen, zu klären, für welche [mm] \beta [/mm] die Gleichung
[mm] rv_1+sv_2*tv_{\beta\}=0 [/mm] nur die Lösung r=s=t=0 hat (unabhängig), bzw. es eine weitere Lösung gibt (abhängig).
Dies kannst Du mit dem Gaußalgorithmus klären.
> Dann würde mein Gauß
> folgendermaßen aussehen:
>
> [mm]\vmat{ 2 & 5 & 0 & 0 \\
3 & 7 & 1 & 0 \\
3 & 1 & \beta & 0 }[/mm]
>
> Und das würde ich auf Dreiecksform bringen, sodass das
> untere Dreieck aus Nullen besteht.
Ich frage mich nun allen Ernstes: wieso "würde"? Warum hast Du es noch nicht getan? Oder zeigst es nicht? Dann wären wir schon ein Stück weiter hier...
> Und was genau hab ich
> dann errechnet?
Dann siehst Du, für welche [mm] \beta [/mm] es nur die triviale Lösung gibt und für welche [mm] \beta [/mm] das GS nicht eindeutig lösbar ist.
Und genau diese Informationen benötigst Du.
>
> Wenn ich es auf NZSF bringe, dann kann ich doch eigentlich
> errechnen, für welche Koeffizienten mein [mm]M_{\beta}[/mm] lin.
> anhängig ist, oder?
Du kannst das schon mit der Zeilenstufenform, der Dreiecksform, sehen.
Die NZSF zu bestimmen, ist natürlich kein Fehler, aber nicht unbedingt erforderlich, sofern es nur um das "Ob" einer nichttrivialen Lösung geht.
>
> Und bei [mm]\beta=13[/mm] ist es auf jeden Fall linear abhängig,
> wenn die Koeffizienten -2,5a für den ersten Vektor, a für
> den zweiten Vektor und -0,5a für den dritten Vektor.
Ja, es ist z.B. [mm] -2.5v_1+v_3-0.5v_{13}=0, [/mm] also gibt es eine nichttriviale Darstellung der Null, und die Vektoren sind somit abhängig.
Gruß v. Angela
> (also
> die Koeffizienten sind in einer gewissen Abhängigkeit
> voneinander...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Di 30.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort!
Wieder sehr ausführlich und total verständlich!
Hatte es die Nacht aber sogar noch selbst hinbekommen! Und dass Aufgabenteil (i) und (iii) quasi das Gleiche ist, hab ich schon am Anfang bemerkt ;)
Trotzdem vielen Dank! Ich habe meine Lösungen nochmal abgeglichen mit Deinen "Hinweisen" und denke, dass ich es richtig gemacht habe!
Aber wie immer: vielen Dank!
Du hast einfach wirklich Ahnung!!
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mo 29.11.2010 | | Autor: | hagen50 |
hallo lexjou!
habe deine frage gelesen und es würde mich auch mal interessieren, wie du das löst. hast du es schonmal neu durchgerechnet?> Für [mm]\beta \in \IR[/mm] sei [mm]M_{\beta}[/mm] die folgende Teilmenge des
> [mm]\IR^{3}:[/mm]
>
> [mm]M_{\beta}:=\left\{\vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{5 \\ 7 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ \beta}\right\}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußalgorithmus alle [mm]\beta \in \IR,[/mm]
> für die
>
> (i) jeder Vektor [mm]\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}} \in \IR^{3}[/mm]
> in [mm]span(M_{\beta}[/mm] enthalten ist.
>
> (ii) die Vektoren in [mm]M_{\beta}[/mm] linear abhängig sind.
>
> (iii) [mm]M_{\beta}[/mm] eine Basis ist.
>
> Also erstmal fehlt oben bei [mm]"M_{\beta}[/mm] die rechte Klammer.
> Das liegt daran, dass ich nicht weiß, wie ich sie dahin
> bekomme! *peinlich*
> Und ich wollte keinen einfachen "kleinen" Klammern nehmen,
> weil das doof aussah!
>
> Nun meine Frage, bzw. muss ich erstmal etwas zum
> Verständnis wissen:
>
> Die lineare Hülle ist hier mit den 3 Vektoren gegeben!
> Sind das die 3 Vektoren, die linear unabhängig sind? Also
> sie müssen durch Linearkombinantion den Nullvektor ergeben
> und die jeweiligen Koeffizienten sind
> [mm]a_{1}=a_{2}=a_{3}=0?![/mm]
>
> (Deshalb im Betreff auch "Definition verwechselt???"! Ich
> bin mir nicht ganz sicher, was diese Vektoren angeben oder
> was das für welche sind. Basisvektoren? einfach
> irgenwelche Vektoren die sich linear kombinieren lassen?
> Aber irgendwas müssen sie doch dann ergeben!?!?)
>
> Also ich habe ja schon angefangen mit Rechnen. Wir sollen
> ja mit Gauß berechnen.
> Meine eigentliche Frage ist quasi ob das, was ich hier im
> Folgenden berechne, Teilaufgabe (i) oder (ii) ist!
>
> Also hier erstmal meine Rechnung:
> (ich habe den Vektor [mm]\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3}}[/mm]
> "umbenannt" in [mm]\vektor{ x \\ y \\ z})[/mm]
>
> I. 2x + 5y = 0
> II. 3x + 7y + z = 0
> III. 3x + y + [mm]\beta[/mm] = 0
>
> I.:
>
> 2x + 5y = 0
> 2x = -5y
> x = -2,5y
>
> x in II.:
>
> 3(-2,5y) + 7y + z = 0
> -0,5y + z = 0
> z = 0,5y
>
> x und z in III.:
>
> 3(-2,5y) + y + [mm]\beta[/mm] = 0
> -6,5y + [mm]\beta[/mm] = 0
> [mm]\beta[/mm] = 6,5y [mm]\Rightarrow[/mm] y = [mm]\bruch{\beta}{6,5}[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] in z = 0,5y:
>
> z = [mm](\bruch{1}{2})(\bruch{\beta}{6,5})[/mm]
> [mm]\beta[/mm] = 13z oder [mm]\beta[/mm] = 6,5 y
>
> Also ist jeder Vektor [mm]\vektor{-2,5y \\ y \\ 0,5y}[/mm] in
> [mm]span(M_{\beta})[/mm] enthalten für [mm]\beta[/mm] = 6,5y
>
>
> Ich habe [mm]\beta[/mm] jetzt so berechnet, dass die Vektoren linear
> unabhängig sind und eine Basis bilden, oder? Also ich habe
> Aufgabe (iii) berechnet, oder?
> Weil die Basis besteht doch aus Vektoren die linear
> unabhängig sind!?
>
> Heißt, wenn ich Aufgabe (ii) berechnen will, dann muss
> [mm]\beta \in \IR[/mm] aber [mm]\beta \not=[/mm] 6,5y (oder 13z)
>
> Wenn ich das allerdings errechnet habe, wie errechne ich
> dann Aufgabe (i)?
>
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