betsimmtest Intg. von 0 - 2pi < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 So 14.11.2004 | | Autor: | mrmiagi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Frage.
Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
Es sei n eine natürliche Zahl. Berechnen Sie die bestimmten Integrale
integral von 0 bis 2pi von sin (nt) nach dx
Dazu habe ich folgende Frage. Muss ich das in zwei Teilen ausrechen und die Beträge addieren?
Oder hebt sich das ganze auf und es kommt 0 raus?
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Hallo!
> Ich habe eine Frage.
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> Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
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> Es sei n eine natürliche Zahl. Berechnen Sie die bestimmten
> Integrale
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> integral von 0 bis 2pi von sin (nt) nach dx
>
> Dazu habe ich folgende Frage. Muss ich das in zwei Teilen
> ausrechen und die Beträge addieren?
>
> Oder hebt sich das ganze auf und es kommt 0 raus?
Das ist eine gute Frage, das wusste ich in der Schule auch nie so genau...
Heute würde ich sagen, wenn du wirklich das Integral berechnen sollst, dann kommt da 0 raus, wenn du die Fläche berechnen sollst, die diese Funktion einschließt, würde ich es aufteilen und addieren.
Aber hierauf keine Garantie - vielleicht hängt es auch davon ab, was der Fragestellter wirklich haben will und ist aus dieser Formulierung gar nicht zu entnehmen.
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mrmiagi,
> Ich habe eine Frage.
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> Ich habe folgende Aufgabe bekommen:
>
> Es sei n eine natürliche Zahl. Berechnen Sie die bestimmten
> Integrale
>
>
> integral von 0 bis 2pi von sin (nt) nach dx
Meinst du wirklich
[mm] $\integral_0^{2\pi} \sin(n\red{t}) [/mm] dx$
oder doch eher
[mm] $\integral_0^{2\pi} \sin(n\red{x}) [/mm] dx$
> Dazu habe ich folgende Frage. Muss ich das in zwei Teilen
> ausrechen und die Beträge addieren?
Nein, ein Integral ist ein Integral, da gibt es nichts zu überlegen.
Solche Gedanken muß man sich nur machen, sobald das Wort "Fläche" in der Aufgabenstellung vorkommt (was hier nicht der Fall ist).
> Oder hebt sich das ganze auf und es kommt 0 raus?
Je nachdem -- beim ersten Integral hängt das Ergebnis von n und t ab (der  Integrand ist eine konstante Funktion).
Beim zweiten Integral kommt tatsächlich 0 raus.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:45 Mo 15.11.2004 | | Autor: | mrmiagi |
Die Formulierung stimmt schon so wie ich sie geschrieben habe.
Aber ich dachte bis jetzt immer ein Intgral _ist_ die Fläche unter einer Kurve.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:47 Mo 15.11.2004 | | Autor: | mrmiagi |
Ups eine kleinigkeit habe ich vertauscht da steht nicht nach dx sondern nnach dt, was hast ds mit x und t eigentlich auf sich?
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Zuerst mal um "Integral = Fläche?": ganz so einfach stimmt die Gleichheit ja nicht, wie du bestimmt schon oft gemerkt hast; wenn bei nem Integral =0 rauskommt, heißt das nicht, dass da keine Fläche im Integrationsbereich vorkommt. Oder wenn man einen negativen Wert beim Integral erhält: ne Fläche kann's ja nicht sein, die wäre ja immer positiv.
Das ganze nennt sich dann "orientierter Flächeninhalt": wenn deine zu integrierende Kurve im Integrationsbereich erstmal entweder komplett über, oder komplett unter der x-Achse verläuft, dann machst du folgendes: fahr mit nem Stift auf der Funktionsskizze entlang, und zwar (Integrationsgrenze 1) -> (Integrationsgrenze 2) -> (auf der Kurve entlang wieder zurück). (Ach ja, mit "Grenze 1" meine ich für dieses Beispiel die 0, und die "Grenze 2" wäre hier das [mm]2\pi[/mm])
Wenn dieser geschlossene Bogen im Uhrzeigersinn umfahren wurde, dann ist es der mathematisch negative Umlaufsinn (als Integralwert kommt dann was Negatives raus). Der Gegenuhrzeigersinn ist die mathematisch positive Richtung.
Zur "x-oder-t-Version" des Integrals: die beiden Versionen (die [mm]\integral_0^{2\pi} \sin(nt) dt[/mm] und die Version von Marc [mm] \integral_0^{2\pi} \sin(nx) dx[/mm] sind völlig identisch.
Kurz gesagt: das [mm]dx[/mm] oder [mm]dt[/mm] sagt dir nur, nach welcher Variablen integriert werden soll. Und es leuchtet ein: ob ich die Funktion [mm]f(x)=x[/mm] nach [mm]x[/mm] integrier, oder die Funktion [mm]f(t)=t[/mm] nach [mm]t[/mm] [mm]\to[/mm] wenn ich danach dieselben Integrationsgrenzen einsetze, dann macht es überhaupt keinen Unterschied, welche Variable da vorher gestanden hat.
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