beweis bei integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktionen f und g seien stetig in [a,b] und es gelte f(x) [mm] \le [/mm] g(g) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] und [mm] f(x_0) [/mm] < [mm] g(x_0) [/mm] für eine [mm] x_0 \in [/mm] [a,b].
Zeigen Sie
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] < [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm]
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Die Aussage erscheint erstmal logisch, da das Integral ja die Fläche unter der Funktion angibt. Und wenn die y Werte kleiner sind bei f(x), so wird ja auch die Fläche kleiner sein. Aber wie beweist man das?
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> Die Funktionen f und g seien stetig in [a,b] und es gelte
> f(x) [mm]\le[/mm] g(x) für alle x [mm]\in[/mm] [a,b] und [mm]f(x_0)[/mm] < [mm]g(x_0)[/mm] für
> eine [mm]x_0 \in[/mm] [a,b].
>
> Zeigen Sie
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] < [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
Hallo,
versuch's mal, indem Du h:=g-f betrachtest.
Gruß v. Angela
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Dann wäre h auf jeden Fall immer größer als 0, wenn die Aussage stimmt.
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Nein.
h wäre in [a,b] ebenfalls stetig und im ganzen Intervall [mm] h\ge{0}. [/mm] An der Stelle [mm] x_0 [/mm] gilt aber tatsächlich h>0.
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Achso, stimmt. Also wäre die Aussage mit einem h gezeigt, oder? Und wie zeige ich das?
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> Achso, stimmt. Also wäre die Aussage mit einem h gezeigt,
> oder?
Hallo,
was meinst Du mit "mit einem h gezeigt"?
Das h, von dem wir hier reden ist nicht ein h, sondern es ist h:=g-f.
> Und wie zeige ich das?
So ein paar kleine Aktivitäten würde man ja jetzt auch gern von Dir sehen.
Mach Dir Gedanken über $ [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} [/mm] $ und versuche eine Abschätzung.
Gruß v. Angela
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Mh, tut mir leid, aber ich weiß absolut nichts damit anzufangen! Wie soll ich das denn abschätzen!? Kann mir das nicht vorstellen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Vor.: h stetig und [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b], [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] und [mm] h(x_0) [/mm] > 0
Beh.: [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} [/mm] > 0
Beweis: Klar ist: [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} \ge [/mm] 0. Setze C:= [mm] \bruch{h(x_0)}{2}
[/mm]
Die stetigkeit von h liefert: es gibt c,d [mm] \in [/mm] [a,b] mit:
c [mm] \le x_0 \le [/mm] d und h(x) [mm] \ge [/mm] C für x [mm] \in [/mm] [c,d].
Nun bist Du dran ( wir machen mal ein Rätsel draus)
1. [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} [/mm] # [mm] \integral_{c}^{d}{h(x) dx}
[/mm]
Was ist wohl # für ein Zeichen ?
2. [mm] \integral_{c}^{d}{h(x) dx} [/mm] # [mm] \integral_{c}^{d}{C dx} [/mm] = ?
Was ist hier # und was ist ?
3. Wenn Du 1. und 2. kombinierst , hast Du die Beh. bewiesen
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Vor.: h stetig und [mm]\ge[/mm] 0 auf [a,b], [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] und
> [mm]h(x_0)[/mm] > 0
>
> Beh.: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] > 0
>
> Beweis: Klar ist: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx} \ge[/mm] 0. Setze
> C:= [mm]\bruch{h(x_0)}{2}[/mm]
>
> Die stetigkeit von h liefert: es gibt c,d [mm]\in[/mm] [a,b] mit:
>
> c [mm]\le x_0 \le[/mm] d und h(x) [mm]\ge[/mm] C für x [mm]\in[/mm] [c,d].
>
>
> Nun bist Du dran ( wir machen mal ein Rätsel draus)
>
>
1. [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] [mm] \ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm]
>
> 2. [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] # [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] = ?
>
>
>
Also bei dem 2. kann ich es mir nicht vorstellen! Hab langsam das Gefühl ich bin zu blöd dafür!
> 3. Wenn Du 1. und 2. kombinierst , hast Du die Beh.
> bewiesen
>
>
> FRED
>
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Vor.: h stetig und [mm]\ge[/mm] 0 auf [a,b], [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] und
> > [mm]h(x_0)[/mm] > 0
> >
> > Beh.: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] > 0
> >
> > Beweis: Klar ist: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx} \ge[/mm] 0. Setze
> > C:= [mm]\bruch{h(x_0)}{2}[/mm]
> >
> > Die stetigkeit von h liefert: es gibt c,d [mm]\in[/mm] [a,b] mit:
> >
> > c [mm]\le x_0 \le[/mm] d und h(x) [mm]\ge[/mm] C für x [mm]\in[/mm] [c,d].
> >
> >
> > Nun bist Du dran ( wir machen mal ein Rätsel draus)
> >
> >
> 1. [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm]
> [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm]
Das stimmt
>
> >
> > 2. [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] # [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> ?
> >
> >
> >
> Also bei dem 2. kann ich es mir nicht vorstellen! Hab
> langsam das Gefühl ich bin zu blöd dafür!
Wegen h(x) $ [mm] \ge [/mm] $ C auf [c,d]
haben wir:
[mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] [mm] \ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] = C(c-d) > 0
Edit: es muß C(d-c) lauten !!
FRED
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> > 3. Wenn Du 1. und 2. kombinierst , hast Du die Beh.
> > bewiesen
> >
> >
> > FRED
> >
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> > > Vor.: h stetig und [mm]\ge[/mm] 0 auf [a,b], [mm]x_0 \in[/mm] [a,b] und
> > > [mm]h(x_0)[/mm] > 0
> > >
> > > Beh.: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] > 0
> > >
> > > Beweis: Klar ist: [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx} \ge[/mm] 0. Setze
> > > C:= [mm]\bruch{h(x_0)}{2}[/mm]
> > >
> > > Die stetigkeit von h liefert: es gibt c,d [mm]\in[/mm] [a,b] mit:
> > >
> > > c [mm]\le x_0 \le[/mm] d und h(x) [mm]\ge[/mm] C für x [mm]\in[/mm] [c,d].
> > >
> > >
> > > Nun bist Du dran ( wir machen mal ein Rätsel draus)
> > >
> > >
> > 1. [mm]\integral_{a}^{b}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm]
> > [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm]
>
>
> Das stimmt
>
>
>
>
> >
> > >
> > > 2. [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] # [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> > ?
> > >
> > >
> > >
> > Also bei dem 2. kann ich es mir nicht vorstellen! Hab
> > langsam das Gefühl ich bin zu blöd dafür!
>
>
>
>
>
> Wegen h(x) [mm]\ge[/mm] C auf [c,d]
>
>
>
> haben wir:
>
>
>
> [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> C(c-d) > 0
>
Okay und wie kommst du auf den 2. Teil?
>
> FRED
> >
> > > 3. Wenn Du 1. und 2. kombinierst , hast Du die Beh.
> > > bewiesen
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> > LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Meinst Du das
$ [mm] \integral_{c}^{d}{C dx} [/mm] $ = C(c-d) ?
Edit: es muß C(d-c) lauten
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Ja genau!
LG
Vielen Dank im Voraus für deine Antworten und Bemühungen...
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> > [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> > C(c-d) > 0
> >
> Okay und wie kommst du auf den 2. Teil?
Hallo,
ich denke, daß hier ein Fehlerchen passiert ist, das soll wohl eher C(d-c) heißen. Damit ist dann alles klar, oder?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
>
> > > [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> > > C(c-d) > 0
> > >
> > Okay und wie kommst du auf den 2. Teil?
>
> Hallo,
>
> ich denke, daß hier ein Fehlerchen passiert ist, das soll
> wohl eher C(d-c) heißen. Damit ist dann alles klar, oder?
Hallo Angela,
ich habs grade verbessert
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
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> > > [mm]\integral_{c}^{d}{h(x) dx}[/mm] [mm]\ge[/mm] [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] =
> > > C(c-d) > 0
> > >
> > Okay und wie kommst du auf den 2. Teil?
>
> Hallo,
>
> ich denke, daß hier ein Fehlerchen passiert ist, das soll
> wohl eher C(d-c) heißen. Damit ist dann alles klar, oder?
>
Ich versteh das nicht! Muss es nicht C(d) - C(c) heißen?
> Gruß v. Angela
LG.
Vielen Dank im Voraus für eure Antworten und Bemühungen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
C ist eine konstante. Dann berechne doch mal
$ [mm] \integral_{c}^{d}{C dx} [/mm] $
mit dem 1. Hauptsatz . Das ist zwar mit Kanonen nach Spatzen geschossen, aber so wirds Dir wohl klar.
Ansonsten merke: das Integral über eine Konstante = Konstante [mm] \times [/mm] Intervalllänge
(schreibt man "Intervalllänge" nach der Rechtschreibreform immer noch so ?)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> C ist eine konstante. Dann berechne doch mal
>
> [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm]
>
> mit dem 1. Hauptsatz . Das ist zwar mit Kanonen nach
> Spatzen geschossen, aber so wirds Dir wohl klar.
>
>
> Ansonsten merke: das Integral über eine Konstante =
> Konstante [mm]\times[/mm] Intervalllänge
>
> (schreibt man "Intervalllänge" nach der Rechtschreibreform
> immer noch so ?)
>
>
> FRED
Nach dem ersten Hauptsatz wäre das ja das C(d) - C(c), wobei C die Stammfunktion von C darstellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > C ist eine konstante. Dann berechne doch mal
> >
> > [mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm]
> >
> > mit dem 1. Hauptsatz . Das ist zwar mit Kanonen nach
> > Spatzen geschossen, aber so wirds Dir wohl klar.
> >
> >
> > Ansonsten merke: das Integral über eine Konstante =
> > Konstante [mm]\times[/mm] Intervalllänge
> >
> > (schreibt man "Intervalllänge" nach der Rechtschreibreform
> > immer noch so ?)
> >
> >
> > FRED
>
> Nach dem ersten Hauptsatz wäre das ja das C(d) - C(c),
> wobei C die Stammfunktion von C darstellt.
mein lieber Herr Gesangsverein !! Eine Stammfunktion von C ist Cx, also
[mm]\integral_{c}^{d}{C dx}[/mm] = Cd-Cc = C(d-c)
FRED
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