beweis der Bijektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 27.10.2004 | | Autor: | tp_la |
Hallo NG,
wie kann ich folgende Abbildung untersuchen, ob Bijektivität vorliegt?
R² --> R
f(x1;x2)=2*x1-x2
Logischerweise muss ich untersuchen, ob das Ganze surtjektiv und injektiv ist. Die Frage ist nur, wie ich das bei mehrweren x-Variablen in einer Funktion machen soll.
Meiner Meinung nach funktioniert der Widerspruchsbeweis nur bei genau einer x-Variable, da ich ja dann nach x Auflösen kann.
Also wie geht man dann im obigen Fall vor???
Gruß,
tp_la
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Hier nochmal die Definitionen, von denen man ausgehen sollte:
Sei $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung.
$f$ heißt injektiv, wenn für $a,b [mm] \in [/mm] X$ mit $f(a) = f(b)$ automatisch folgt: $a = b$.
$f$ heißt surjektiv, wenn es zu jedem $y [mm] \in [/mm] Y$ ein $x [mm] \in [/mm] X$ gibt mit $f(x) = y$
Diese Definitionen sind unabhängig davon, welche Mengen $X$ und $Y$ konkret sind - in Deinem Fall ist eben $X = [mm] \IR^2$ [/mm] und $Y = [mm] \IR$.
[/mm]
Für die Surjektivität müßtest Du also zeigen, dass es zu jedem $y [mm] \in \IR$ [/mm] Zahlen [mm] $x_1, x_2 \in \IR$ [/mm] gibt mit $y = [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] x_2$.
[/mm]
Und für die Injektivität müßtest Du zeigen, dass diese Zahlen eindeutig bestimmt sind.
Jetzt überleg mal, ob das erste gilt und falls ja, ob das zweite dann auch gilt... noch ein kleiner Hinweis: die Abbildung ist eben NICHT bijektiv. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mi 27.10.2004 | | Autor: | tp_la |
Das mit der Theorie ist mir schon klar. Aber wie beweise ich das mathematisch??? Mir geht es also nicht darum anhand von irgendwelchen Elemente die Bijektivität zu widerlegen, sondern um den algemeinen Beweis, dass diese Abbildung nicht bijektiv ist!
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Gruß!
Also, um es ganz klar zu sagen: ein GEGENBEISPIEL ist im Gegensatz zu einem Beispiel ein völlig legitimer und auch mathematisch 100% korrekter Beweis.
Das kann so aussehen:
Behauptung: $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] ist nicht bijektiv.
Beweis: Es gilt $f(-2) = 4 = f(2)$ und damit ist $f$ nicht injektiv.
Das ist mathematisch absolut korrekt. Das logische Gegenteil von "für alle" ist ja auch "es gibt" bzw. "es existiert". Wenn man also eine "für alle" Aussage widerlegen möchte, so reicht ein Gegenbeispiel, das Ganze auszuhebeln.
Um hingegen eine "für alle" Aussage zu beweisen, ist es mit einem Beispiel natürlich nicht getan, da muß man die Ärmel schon hochkrempeln und es "allgemein" machen.
Ist es jetzt klarer geworden?
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo tp_la,
also: Lars (Gnometech) hat natürlich vollkommen recht, wenn er sagt, dass es hier mit einem Gegenbeispiel getan ist. Da du aber jetzt den Einwand bringen könntest:
"Ich will aber nicht ewig danach suchen!" 
versuche ich nun, dir das ganze (für diese Funktion) auch nochmal "methodisch" vorzurechnen. Also:
Injektiv heißt (hier) ja:
Aus [mm] $f(x_1;x_2)=f(y_1;y_2)$ [/mm] muß stets folgen:
[mm] $(x_1;x_2)=(y_1;y_2)$ [/mm] (und letzteres gilt genau dann, wenn [m]x_1=y_1[/m] und [mm] $x_2=y_2$.)
[/mm]
Also, testen wir es mal:
[mm] $f(x_1;x_2)=f(y_1;y_2)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2x_1-x_2=2y_1-y_2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2(x_1-y_1)=x_2-y_2$.
[/mm]
Aus der letzten Gleichung kann man aber ablesen, dass $f$ nicht injektiv ist. Erkennst du das von alleine?
Die letzte Gleichung kann dir nämlich helfen, für [mm] $x_1 \not= y_1$ [/mm] passende [mm] $x_2;y_2$ [/mm] zu finden, so dass dennoch [mm] $f(x_1;x_2)=f(y_1;y_2)$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo tp_la,
ergänzend zu Gnometech noch ein Hinweis:
$f: [mm] \IR^{\,2} \to \IR$
[/mm]
mit
[mm] $f(x_1;x_2)=2*x_1-x_2$
[/mm]
ist nicht injektiv. Es gilt nämlich einerseits:
$f(0;0)=2*0-0=0$, andererseits aber...
So, und nun bist du am Zuge:
Finde [mm] $(x_1;x_2) \in (\IR^2\setminus\{(0;0)\})$ [/mm] mit [m]f(x_1;x_2)=0[/m].
Übrigens:
Deine gegebene Funktion ist linear (warum?). Dann gibt es doch den Satz (da es nur eine Erinnerung sein soll, verzichte ich auf die genauen Voraussetzungen):
Für lineares $f$ gilt:
$f$ ist injektiv [mm] $\gdw$ Kern$(f)=\{0\}$.
[/mm]
(Nachlesen kannst du das etwa hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~schulz/la1-ws0102.html
[mm] $\to$ [/mm] script.pdf; Seite 47, Lemma 7.20)
Liebe Grüße,
Marcel
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