beweis disjunkte mengen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien Mengen [mm] $\Omega \neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $A_{n} \subset \Omega$ [/mm] für $ n [mm] \in \IN$. [/mm] Weiter seien die mengen [mm] $B_{n}, n\in \IN [/mm] $definiert durch
[mm] $B_1 :=A_1 [/mm] $ und [mm] $B_n [/mm] := [mm] A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i [/mm] $ für [mm] $n\geq [/mm] 2 $
Zeigen sie .
$(i)$ Die Mengen [mm] $B_n [/mm] , n [mm] \in \IN$ [/mm] sind paarweise disjunkt.
$(ii)$ Es gilt$ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} B_i$
[/mm]
(Hierbei wir [mm] \sum [/mm] als Symbol für die Vereinigung paarweise disjunkter mengen verwendet) |
Ich nehme an es soll gezeigt werden
$(i) [mm] \gdw [/mm] (ii)$
also na dann
" $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$"
Die Mengen [mm] $B_n [/mm] , n [mm] \in \IN$ [/mm] sind paarweise disjunkt. Das impliziert ja,dass [mm] $B_{n}\cap B_{n-1} [/mm] = [mm] \emptyset \Rightarrow B_{n}\cup B_{n-1} =B_{n}+ B_{n-1}$. [/mm] jetzt komm ich irgendwie nicht weiter :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 14.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien Mengen [mm]\Omega \neq \emptyset[/mm] und [mm]A_{n} \subset \Omega[/mm]
> für [mm]n \in \IN[/mm]. Weiter seien die mengen [mm]B_{n}, n\in \IN [/mm]definiert
> durch
>
> [mm]B_1 :=A_1[/mm] und [mm]B_n := A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i[/mm]
> für [mm]n\geq 2[/mm]
>
> Zeigen sie .
>
> [mm](i)[/mm] Die Mengen [mm]B_n , n \in \IN[/mm] sind paarweise disjunkt.
>
> [mm](ii)[/mm] Es gilt[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \sum_{i=1}^{\infty} B_i[/mm]
>
> (Hierbei wir [mm]\sum[/mm] als Symbol für die Vereinigung paarweise
> disjunkter mengen verwendet)
> Ich nehme an es soll gezeigt werden
>
> [mm](i) \gdw (ii)[/mm]
Nein !
Es soll das gezeigt werden, was dasteht:
In (i) sollst Du zeigen [mm] B_i \cap B_j= \emptyset [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
In (ii) sollst Du zeigen:
$ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i [/mm] $
FRED
>
> also na dann
>
> " [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]"
>
> Die Mengen [mm]B_n , n \in \IN[/mm] sind paarweise disjunkt. Das
> impliziert ja,dass [mm]B_{n}\cap B_{n-1} = \emptyset \Rightarrow B_{n}\cup B_{n-1} =B_{n}+ B_{n-1}[/mm].
> jetzt komm ich irgendwie nicht weiter :/
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hi
danke fred für dein feedback
ich hab mal nen beweis ausgearbeitet für die
i)
$x \in ( B_{n} \cap B_{n-1})$
$= x\in (A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \cap A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i )$
$= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i \} $
$\Rightarrow x \in A_n \cap x \in A_{n-1} = x$
da aber laut $= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} x \not \in A_{n-1}$ liegt und in dem anderen Vereinigungspartner ${x \in A_{n-1}$ liegt ist das ein widerspruch und deshalb müssen die beiden mengen gleich sein damit etwas im schnitt liegt sonst ist er disjoint.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 14.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi
>
> danke fred für dein feedback
>
> ich hab mal nen beweis ausgearbeitet für die
>
> i)
>
> [mm]x \in ( B_{n} \cap B_{n-1})[/mm]
>
> [mm]= x\in (A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \cap A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i )[/mm]
das =-Zeichen macht hier doch keinen Sinn. Du willst hier sicher [mm] $\iff$ [/mm] (oder
wenigstens ein [mm] $\Longrightarrow$) [/mm] schreiben!
Und warum unter dem zweiten [mm] $\bigcup$ [/mm] nun [mm] $i=2\,$ [/mm] steht, sehe ich auch nicht.
Da gehört [mm] $i=1\,$ [/mm] hin, nur die obere Grenze ist anders!
Außerdem solltest Du besser noch Klammern setzen:
[mm] $x\in (\red{\left(\black{A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i}\right)} \cap \red{\left(\black{A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i}\right)} [/mm] )$
!
> [mm]= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i \}[/mm]
Na, auch hier: Es folgt
(*) [mm] $(x\in A_n \wedge [/mm] x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)$ $\wedge$ [/mm] ($x [mm] \in A_{n-1} \wedge [/mm] x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i$)
[/mm]
> [mm]\Rightarrow x \in A_n \cap x \in A_{n-1} = x[/mm]
>
> da aber laut [mm]= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} x \not \in A_{n-1}[/mm]
> liegt und in dem anderen Vereinigungspartner [mm]{x \in A_{n-1}[/mm]
> liegt ist das ein widerspruch und deshalb müssen die
> beiden mengen gleich sein damit etwas im schnitt liegt
> sonst ist er disjoint.
Das Wort heißt disjunkt - und was Du da am Ende machst, erschließt sich
mir nicht wirklich.
Springen wir zurück zu (*): Es gilt nun
(**) $x [mm] \in A_n$ [/mm] und $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$ [/mm] und $x [mm] \in A_{n-1}$ [/mm] und $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-2}A_i$
[/mm]
Aus $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$ [/mm] folgt aber schon
$x [mm] \notin A_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \{1,\ldots,n-1\}\,.$
[/mm]
Insbesondere ist damit $x [mm] \notin A_{n-1}\,,$ [/mm] was im Widerspruch dazu steht, dass
gemäß (**) doch $x [mm] \in A_{n-1}$ [/mm] sein soll (anders gesagt: (**) impliziert
$x [mm] \notin A_{n-1}$ [/mm] und $x [mm] \in A_{n-1}\,,$
[/mm]
[oder nochmal anders gesagt: $x [mm] \in ({A_{n-1}}^C \cap A_{n-1})=\varnothing$])
[/mm]
also einen Widerspruch!Daher kann es kein $x [mm] \in B_{n} \cap B_{n-1}$ [/mm] geben!
Bei der Aufgabe ii)
[mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\sum_{k=1}^\infty B_k$
[/mm]
bedeutet nichts anderes, als dass die folgenden Aussagen gelten:
I) Es ist [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\bigcup_{k=1}^\infty B_k$
[/mm]
II) Die [mm] $B_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] sind alle paarweise disjunkt (das hast Du gerade
gezeigt).
(Edit: Das hast Du doch noch nicht gezeigt, aber der Beweis dazu
geht analog zu dem, was Du gerade gezeigt hast: Sind $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \neq m\,,$ [/mm]
so kannst Du o.E. $n > [mm] m\,$ [/mm] annehmen. Für (irgend-)ein $x [mm] \in B_n \cap B_m$ [/mm] folgt
dann der Widerspruch, dass sowohl $x [mm] \in A_m$ [/mm] als auch $x [mm] \notin A_m$ [/mm] gelten muss!)
P.S. Achte bitte auf die Unterschiede zwischen Aussagen und Mengen (bzw.
Aussagen innerhalb von Mengen). Z.B.
[mm] $\{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i \}$
[/mm]
Dort steht "die Menge aller [mm] $x\,$ [/mm] aus [mm] $A_n$, [/mm] so, dass $x [mm] \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i [/mm] $
wird geschnitten mit der Menge aller x (die könnten jetzt auch y heißen) aus
[mm] $A_{n-1}$ [/mm] mit $x [mm] \not\in \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i [/mm] $".
Sowas ist schon schlecht, wenn doch vorher das x fest war. Das wäre in
etwa so, wie wenn Du schreiben würdest
[mm] $\sqrt{2}:=x \in \{x \in \IR \mid x > 0\}$
[/mm]
Also notationsmäßig herrscht bei Dir durchaus einiges an Durcheinander,
was Du mal sortieren solltest!
P.P.S. Zur Erinnerung: Für Teil I) der Aussage ii):
Zwei Mengen [mm] $M_1,M_2$ [/mm] sind genau dann, wenn jede der beiden Teilmengenbeziehungen
[mm] $M_1 \;\subseteq\; M_2$
[/mm]
und
[mm] $M_2 \;\subseteq\; M_1$
[/mm]
gilt.
Und da offensichtlich durchweg [mm] $B_n \;\subseteq\; A_n\,$ [/mm] gilt, ist auch eine der beiden
Teilmengenbeziehungen, die man für I) gebrauchen kann, trivial. Welche?
Gruß,
Marcel
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