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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - beweis kompakte teilmenge
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beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:09 Fr 22.07.2011
Autor: kioto

Aufgabe
[mm] $A:=\{(0,y):y\in\IR\}$ [/mm] ist eine kompakte teilmenge von [mm] $\IR^2$ [/mm]


abgeschlossen ist sie doch schon mal, weil die definition heißt ja, durchschnitte beliebig vieler abgeschlossner mengen sind abgeschlossen.
ist sie auch beschränkt? woran erkennt man es?

        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:22 Fr 22.07.2011
Autor: felixf

Moin!

> [mm]A:={(0,y):y\in\IR}[/mm] ist eine kompakte teilmenge von [mm]\IR^2[/mm]
>
>  abgeschlossen ist sie doch schon mal, weil die definition
> heißt ja, durchschnitte beliebig vieler abgeschlossner
> mengen sind abgeschlossen.

Das stimmt. Aber wie siehst du das hier bei dieser Menge?

>  ist sie auch beschränkt? woran erkennt man es?

Zeichne die Menge doch mal auf. Gibt es ein $R > 0$, so dass die Menge in [mm] $B_R(0)$ [/mm] enthalten ist?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 So 24.07.2011
Autor: kioto

beweisaufgaben verdräng ich immer, wenn ich auch erstmal rechenaufgaben machen kann.......
> > [mm]A:={(0,y):y\in\IR}[/mm] ist eine kompakte teilmenge von [mm]\IR^2[/mm]
>  >

> >  abgeschlossen ist sie doch schon mal, weil die definition

> > heißt ja, durchschnitte beliebig vieler abgeschlossner
> > mengen sind abgeschlossen.
>  
> Das stimmt. Aber wie siehst du das hier bei dieser Menge?

sie ist abgeschlossen, wenn [mm] A=\IR^2 [/mm] \ [mm] {(0,y):y\in\IR^2} [/mm] offen ist, da brauch ich also einen Punkt  [mm] (x,y)\IR [/mm] für [mm] (x,y)\in\IR, [/mm] x [mm] \not=0 [/mm]
und noch ein [mm] \epsilon [/mm] > 0, sodass ein kreisring um x,y von radius [mm] \IR [/mm] keinen punkt der y achse enthält, tut es für [mm] \epsilon [/mm] = 0,1?

> >  ist sie auch beschränkt? woran erkennt man es?

>
> Zeichne die Menge doch mal auf. Gibt es ein [mm]R > 0[/mm], so dass
> die Menge in [mm]B_R(0)[/mm] enthalten ist?
>  

ahh........das ham wir noch nie gemacht, als zeichnen....... werte für y einsetzen?

> LG Felix
>  

danke!
ki

Bezug
                        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 So 24.07.2011
Autor: fred97

Du wirst doch in der Lage sein, die Menge $ [mm] A:=\{(0,y):y\in\IR\} [/mm] $  zu zeichnen !!

Tipp: y -Achse.

FRED

Bezug
                                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 24.07.2011
Autor: kioto


> Du wirst doch in der Lage sein, die Menge
> [mm]A:=\{(0,y):y\in\IR\}[/mm]  zu zeichnen !!
>  
> Tipp: y -Achse.

ich nehm also [mm] \epsilon [/mm] = 0,1 als radius und nehme beliebig 2 punkte, z.b. (-1,1)? dann enthält es ja keine punkte der y-achse

ki

> FRED


Bezug
                                        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 24.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo.

$ [mm] P(-1;1)\notin [/mm] A $

Zeichne mal ein "Standardkoordinatensystem".

Welcher Teil welcher Achse ist nun die Menge A?

Marius


Bezug
                                                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 24.07.2011
Autor: kioto

Hallo.
>  
> [mm]P(-1;1)\notin A[/mm]
>  
> Zeichne mal ein "Standardkoordinatensystem".

ich dachte, das tu ich schon die ganze zeit.....

> Welcher Teil welcher Achse ist nun die Menge A?

hm. was meinst du damit? positiver teil von der y achse?
herumstochern im nebel..........

>  
> Marius
>  


Bezug
                                                        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 24.07.2011
Autor: fred97

A ist die y - Achse. Fertig

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 So 24.07.2011
Autor: kioto


> A ist die y - Achse. Fertig
>  

damit ist die abgeschlossenheit von A gezeigt? oder die offenheit der komplement  hätte ich davor gar nicht so viel definieren müssen?

> FRED


Bezug
                                                                        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Mo 25.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Folgende Fragen gilt es zu beantworten:


Ist der [mm] \IR^{2} [/mm] abgeschlossen oder offen?

Was ist mit der Menge B:
[mm] B:=\{(a,b)\in\IR^{2}|a\ne0\}=A^{C} [/mm]
Ist diese abgeschlossen oder offen?

Was ist dann mit

$ [mm] A=\IR^{2}\setminus [/mm] B $

Marius



Bezug
                                                                                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mo 25.07.2011
Autor: kioto

hallo
> Folgende Fragen gilt es zu beantworten:
>  
>
> Ist der [mm]\IR^{2}[/mm] abgeschlossen oder offen?
>  

[mm] \IR^2 [/mm] ist doch offen und abgeschlossen

> Was ist mit der Menge B:
>  [mm]B:=\{(a,b)\in\IR^{2}|a\ne0\}=A^{C}[/mm]
>  Ist diese abgeschlossen oder offen?
>  

abgeschlossen, weil alle punkte zwischen a und b enthalten sind?

> Was ist dann mit
>
> [mm]A=\IR^{2}\setminus B[/mm]

nicht abgeschlossen?

> Marius
>  
>  

danke!
ki

Bezug
                                                                                        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 26.07.2011
Autor: fred97


> hallo
>  > Folgende Fragen gilt es zu beantworten:

>  >  
> >
> > Ist der [mm]\IR^{2}[/mm] abgeschlossen oder offen?
>  >  
> [mm]\IR^2[/mm] ist doch offen und abgeschlossen
>  > Was ist mit der Menge B:

>  >  [mm]B:=\{(a,b)\in\IR^{2}|a\ne0\}=A^{C}[/mm]
>  >  Ist diese abgeschlossen oder offen?
>  >  
> abgeschlossen, weil alle punkte zwischen a und b enthalten
> sind?


Quatsch.

>  > Was ist dann mit

> >
> > [mm]A=\IR^{2}\setminus B[/mm]
>  
> nicht abgeschlossen?

Doch, wie oft denn noch ?

FRED

>  
> > Marius
>  >  
> >  

> danke!
>  ki


Bezug
        
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Fr 22.07.2011
Autor: kushkush

Halo,


> ie definition heißt ja, durchschnitte beliebig vieler abgeschlossner mengen sind > abgeschlossen


es ist ein satz und keine definition

Gruss
kushkush


Bezug
                
Bezug
beweis kompakte teilmenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Fr 22.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> > ie definition heißt ja, durchschnitte beliebig vieler
> > abgeschlossner mengen sind > abgeschlossen
>  
>
> es ist ein satz und keine definition

wenn man Topologie ueber offene Mengen definiert, ist es ein Einzeiler.

Aber wenn man Topologie ueber abgeschlossene Mengen definiert (kann man auch machen, keine Ahnung ob das irgendjemand auch wirklich tut) folgt es aus der Definition :)

LG Felix


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