beweis linear abhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 22.03.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | Seien V und W endlichsimensionale [mm] \Ik [/mm] - Vektorräume sowie f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm] v_1,....,v_r \in [/mm] V und [mm] w_i :=f(v_i) \in [/mm] W für i=1,...r.
a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: sind [mm] w_1,...w_r \in [/mm] W linear abhängig, so sind [mm] v_1,...,v_r \in [/mm] V linear abhängig.
b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det ( g o f) = 0 |
zu a)
sei [mm] \summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i) [/mm] = V
ist es erstmal richtig?
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Moin kioto,
> Seien V und W endlichsimensionale [mm]\Ik[/mm] - Vektorräume sowie
> f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm]v_1,....,v_r \in[/mm] V
> und [mm]w_i :=f(v_i) \in[/mm] W für i=1,...r.
> a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
> sind [mm]w_1,...w_r \in[/mm] W linear abhängig, so sind [mm]v_1,...,v_r \in[/mm]
> V linear abhängig.
> b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det ( g o f) =
> 0
> zu a)
> sei [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i)[/mm] = V
> ist es erstmal richtig?
V ist ein Vektorraum und kann keine Linearkombination sein. (?)
Hast du dir überlegt, ob die Aussage (a) stimmt?
Tipp: Was passiert, wenn f zwei linear unabhängige Vektoren auf den gleichen Vektor in W abbildet?
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 22.03.2011 | | Autor: | kioto |
> Moin kioto,
> > Seien V und W endlichsimensionale [mm]\Ik[/mm] - Vektorräume
> sowie
> > f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm]v_1,....,v_r \in[/mm] V
> > und [mm]w_i :=f(v_i) \in[/mm] W für i=1,...r.
> > a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein
> Gegenbeispiel:
> > sind [mm]w_1,...w_r \in[/mm] W linear abhängig, so sind [mm]v_1,...,v_r \in[/mm]
> > V linear abhängig.
> > b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det ( g o f)
> =
> > 0
> > zu a)
> > sei [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i)[/mm] = V
> > ist es erstmal richtig?
> V ist ein Vektorraum und kann keine Linearkombination
> sein. (?)
eine linearkombination besteht aus elementen der teilmenge von V, so vlt?
> Hast du dir überlegt, ob die Aussage (a) stimmt?
hab da leider keine ahnung..........
> Tipp: Was passiert, wenn f zwei linear unabhängige
> Vektoren auf den gleichen Vektor in W abbildet?
> >
dann sind sie nicht mehr linear unabhängig?
> LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Moin kioto,
> > > Seien V und W endlichsimensionale [mm]\Ik[/mm] - Vektorräume
> > sowie
> > > f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm]v_1,....,v_r \in[/mm] V
> > > und [mm]w_i :=f(v_i) \in[/mm] W für i=1,...r.
> > > a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein
> > Gegenbeispiel:
> > > sind [mm]w_1,...w_r \in[/mm] W linear abhängig, so sind [mm]v_1,...,v_r \in[/mm]
> > > V linear abhängig.
> > > b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det ( g o
> f)
> > =
> > > 0
> > > zu a)
> > > sei [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i)[/mm] = V
> > > ist es erstmal richtig?
> > V ist ein Vektorraum und kann keine Linearkombination
> > sein. (?)
> eine linearkombination besteht aus elementen der
> teilmenge von V, so vlt?
........... stochern im Nebel ..........
>
> > Hast du dir überlegt, ob die Aussage (a) stimmt?
>
> hab da leider keine ahnung..........
Was erhältst Du denn mit der Nullabildung, also f(x)=0 für jedes x [mm] \in [/mm] V ????
> > Tipp: Was passiert, wenn f zwei linear unabhängige
> > Vektoren auf den gleichen Vektor in W abbildet?
> > >
> dann sind sie nicht mehr linear unabhängig?
Bingo !
FRED
> > LG
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 22.03.2011 | | Autor: | kioto |
> > > Moin kioto,
> > > > Seien V und W endlichsimensionale [mm]\Ik[/mm] -
> Vektorräume
> > > sowie
> > > > f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm]v_1,....,v_r \in[/mm] V
> > > > und [mm]w_i :=f(v_i) \in[/mm] W für i=1,...r.
> > > > a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein
> > > Gegenbeispiel:
> > > > sind [mm]w_1,...w_r \in[/mm] W linear abhängig, so sind [mm]v_1,...,v_r \in[/mm]
> > > > V linear abhängig.
> > > > b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det (
> g o
> > f)
> > > =
> > > > 0
> > > > zu a)
> > > > sei [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i)[/mm] = V
> > > > ist es erstmal richtig?
> > > V ist ein Vektorraum und kann keine
> Linearkombination
> > > sein. (?)
> > eine linearkombination besteht aus elementen der
> > teilmenge von V, so vlt?
>
>
>
> ........... stochern im Nebel ..........
> >
> > > Hast du dir überlegt, ob die Aussage (a) stimmt?
> >
> > hab da leider keine ahnung..........
>
> Was erhältst Du denn mit der Nullabildung, also f(x)=0
> für jedes x [mm]\in[/mm] V ????
was meinst du damit? aber wenn alles 0 ist, dann ist es doch linear unabhängig oder nicht?
> > > Tipp: Was passiert, wenn f zwei linear unabhängige
> > > Vektoren auf den gleichen Vektor in W abbildet?
> > > >
> > dann sind sie nicht mehr linear unabhängig?
>
> Bingo !
>
>
> FRED
> > > LG
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Moin kioto,
> > > > > Seien V und W endlichsimensionale [mm]\Ik[/mm] -
> > Vektorräume
> > > > sowie
> > > > > f: V -> W und g: W -> V linear. Seien [mm]v_1,....,v_r \in[/mm] V
> > > > > und [mm]w_i :=f(v_i) \in[/mm] W für i=1,...r.
> > > > > a) Beweisen oder widerlegen Sie durch ein
> > > > Gegenbeispiel:
> > > > > sind [mm]w_1,...w_r \in[/mm] W linear abhängig, so sind [mm]v_1,...,v_r \in[/mm]
> > > > > V linear abhängig.
> > > > > b) Zeigen Sie, Gilt dim W < dim V, so ist det
> (
> > g o
> > > f)
> > > > =
> > > > > 0
> > > > > zu a)
> > > > > sei [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f(v_i)[/mm] = V
> > > > > ist es erstmal richtig?
> > > > V ist ein Vektorraum und kann keine
> > Linearkombination
> > > > sein. (?)
> > > eine linearkombination besteht aus elementen der
> > > teilmenge von V, so vlt?
> >
> >
> >
> > ........... stochern im Nebel ..........
> > >
> > > > Hast du dir überlegt, ob die Aussage (a) stimmt?
> > >
> > > hab da leider keine ahnung..........
> >
> > Was erhältst Du denn mit der Nullabildung, also f(x)=0
> > für jedes x [mm]\in[/mm] V ????
> was meinst du damit? aber wenn alles 0 ist, dann ist es
> doch linear unabhängig oder nicht?
Nein.
Bevor Du Dich weiter mit der Aufgabe beschäftigst hole die Grundlagen nach !
Alles ansere ist zwechlos.
FRED
>
> > > > Tipp: Was passiert, wenn f zwei linear unabhängige
> > > > Vektoren auf den gleichen Vektor in W abbildet?
> > > > >
> > > dann sind sie nicht mehr linear unabhängig?
> >
> > Bingo !
> >
> >
> > FRED
> > > > LG
> > >
> >
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