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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
Sei [mm] A\in \IR^{mxp}, [/mm] B [mm] \in \IR^{pxn}, [/mm] zeige:
i) rang (AB) [mm] \le [/mm] rang(A)
in der lösung steht
das bild von f(AB) ist gegeben durch [mm] {ABx|x\in \IR^n}
[/mm]
das bild von f(A) ist gegeben durch [mm] {Ay|y\in\IR^p}
[/mm]
die oberen zwei zeilen versteh ich nicht, wieso kann man hier die x und y zusammen mit A und B definieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 29.01.2011 | | Autor: | frozer |
Hi,
es ist ja
$ A [mm] \in \IR^{mxp}$ [/mm] (m-Spalten und p Zeilen)
$ B [mm] \in \IR^{pxn} [/mm] $ (p-Spalten und n Zeilen)
Also A und B sind Matrizen die wie folgt aussehen:
A = [mm] \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mp}
\end{array} \right) [/mm] und
B = [mm] \left(
\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{p1} & b_{p1} & \ldots & b_{pn}
\end{array} \right) [/mm]
Die Vektoren $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und $y [mm] \in \IR^p$ [/mm] sehen ja so aus
x = [mm] \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n} \end{array} \right)
[/mm]
y = [mm] \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n} \end{array} \right)
[/mm]
und jetzte rechne (oder versuche mal nachzurechnen:
A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \cdot [/mm] x (normale Multiplikation)
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mp}
\end{array} \right) \cdot \left[ \left(
\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{p1} & b_{p1} & \ldots & b_{pn}
\end{array} \right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n} \end{array} \right) \right]
[/mm]
bzw:
[mm] \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} &\ldots & a_{mp}
\end{array} \right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n} \end{array} \right)
[/mm]
also du kannst es zusammen definieren weils einfach nur matirtzen sind....
und wenn du dir über multiplikation mit matrizen gedanken machst weißt du auch warum x und y genau die dimension haben, die sie haben ;)
grüße
PS:oder ich versteh dein problem nicht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
aber warum ist [mm] {ABx|x\in \IR^n} [/mm] das bild von f(AB)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo kioto,
AB ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Die p Spalten von A und die p Zeilen von B werden bei der Matrixmultiplikation sozusagen gematcht.
Folglich sind die Inputvektoren x aus [mm] \IR^n. [/mm] Zum Bild von f gehören nun genau die Vektoren, die bei ABx herauskommen können.
Gruß,
pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
warum ist es aber [mm] \IR^n [/mm] und nicht p pder m?
Grüße
kioto
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> hallo pyw,
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> warum ist es aber [mm]\IR^n[/mm] und nicht p pder m?
Weil ist so^^
Die Dimension muss doch passen
[mm]A\in\IR^{m\times p},B\in \IR^{p\times n}\Rightarrow AB \in \IR^{m\times n}[/mm]. Damit kannst du von rechts an [mm]AB[/mm] nur Sachen vom Format [mm]\IR^{n\times h}[/mm] mit [mm]h\in \IN \setminus \{0\}[/mm] multiplizieren. Hier bei dir ist halt h=1 (eine Spalte). Also [mm] $x\in \IR^{n}$
[/mm]
>
> Grüße
> kioto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | z.z.
rang(AB)=rang(B)=>L(AB,0)=L(B,0)
wobei L(AB,0) den Lösungsraum von ABx=0 bezeichnet |
warum gilt hier L(B,0) [mm] \supseteq [/mm] L(AB,0)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi kioto,
vielleicht hilft es dir, im Auge zu behalten, dass jede Matrix [mm] M\in\IR^{m\times n} [/mm] eine lineare Abbildung induziert durch [mm] L_M: \IR^n\to \IR^m, v\mapsto M\cdot v [/mm]
Dann versuche es mit Widerspruchsbeweis:
Angenommen es gäbe ein [mm] v\in [/mm] L(AB, 0) mit [mm] v\notin [/mm] L(B, 0) - d. h. ABv=0 und [mm] Bv\neq0.
[/mm]
Dann liegt v im Bild von [mm] L_B [/mm] und im Kern von [mm] L_{AB}. [/mm] Da der Nullvektor bei linearen Abbildungen stets auf den Nullvektor abgebildet wird, gilt
[mm] \dim [/mm] Bild [mm] L_{AB}\leq \dim [/mm] Bild [mm] L_B [/mm]
Was passiert nun mit [mm] \dim [/mm] Bild [mm] L_{AB}, [/mm] wenn der Vektor [mm] Bv\in [/mm] Bild [mm] L_B [/mm] durch [mm] L_A [/mm] auch auf 0 abgebildet wird?
Gruß pyw
Edit: Anmerkung: Der Rang einer Matrix M ist genau [mm] \dim [/mm] Bild [mm] L_M
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
ich muss sagen, ich komm wieder nicht weiter,
warum gilt das
Da der Nullvektor bei linearen Abbildungen stets auf den Nullvektor abgebildet wird, gilt [mm]\dim[/mm] Bild [mm]L_{AB}\leq \dim[/mm] Bild [mm]L_B[/mm] ?
> Was passiert nun mit [mm]\dim[/mm] Bild [mm]L_{AB},[/mm] wenn der Vektor
> [mm]Bv\in[/mm] Bild [mm]L_B[/mm] durch [mm]L_A[/mm] auch auf 0 abgebildet wird?
>
> Gruß pyw
>
> Edit: Anmerkung: Der Rang einer Matrix M ist genau [mm]\dim[/mm]
> Bild [mm]L_M[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
> warum gilt das
> Da der Nullvektor bei linearen Abbildungen stets auf den
> Nullvektor abgebildet wird, gilt [mm]\dim[/mm] Bild [mm]L_{AB}\leq \dim[/mm]
> Bild [mm]L_B[/mm] ?
Alle Vektoren x des Kerns von [mm] L_B [/mm] liegen auch im Kern von [mm] L_{AB}: [/mm]
[mm] L_B(x)=Bx=0 \Rightarrow L_{AB}(x)=A(Bx)=0 [/mm] Begründung ist, dass die lineare Abbildung [mm] L_A [/mm] (linksseitige Multiplikation mit der Matrix A) den Nullvektor (hier Bx) auf den Nullvektor abbildet (beachte dabei, dass [mm] L_{AB}=L_A\circ L_B [/mm] gilt).
Die Vektoren [mm] \neq [/mm] 0 in Bild [mm] L_{AB} [/mm] müssen bezüglich [mm] L_A [/mm] also ihre 'Urbilder' in Bild [mm] L_B [/mm] haben. Also [mm] \dim [/mm] Bild [mm] L_{AB} \leq [/mm] Bild [mm] L_{B}.
[/mm]
Hoffe, das hilft.
Gruß, pyw
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