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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig. Zeige Sie mit Hilfe des Hauptsatzes:
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t)(x-t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du} [/mm] |
Ich hab noch nicht wirklich eine Ahnung, wie man hier anfangen kann. Ist das mit der Stetigkeit überhaupt wichtig hier? Ich weiß auch nicht richtig, wie man mit dem f(t) im Integral umgehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig. Zeige Sie mit Hilfe des
> Hauptsatzes:
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{f(t)(x-t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du}[/mm]
> Ich hab
> noch nicht wirklich eine Ahnung, wie man hier anfangen
> kann. Ist das mit der Stetigkeit überhaupt wichtig hier?
> Ich weiß auch nicht richtig, wie man mit dem f(t) im
> Integral umgehen soll.
Wegen der Stetigkeit besitzt $f$ eine differenzierbare Stammfunktion, also es gibt eine Funktion $F$ mit $F' = f$.
Damit kannst du jetzt beide Integrale bearbeiten.
Die rechte Seite der Gleichung kannst du schnell zu [mm] $\int_0^x [/mm] F(u) du - x F(0)$ umformen.
Auf der linken Seite kannst du auch erstmal vereinfachen (ausmultiplizieren und in zwei Integrale aufspalten, das eine ist einfach da $x$ nicht die Integrationsvariable ist). Danach musst du einmal partielle Integration verwenden und schon kuerzt sich alles weg und uebrig bleibt ebenfalls [mm] $\int_0^x [/mm] F(u) du - x F(0)$.
LG Felix
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Das habe ich noch nicht ganz verstanden, wie man das alles so umformen kann.
So hat man ja am Anfang [mm] \integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du}
[/mm]
Nun hast du ja das innere Integral erstmal umgeformt.
[mm] \integral_{0}^{u}{f(t)dt}
[/mm]
Aus dem f wird ein F wegen der Stammfunktion. Und man subtrahiert von der oberen die untere Funktion.
Und genau da müsste mir wohl nochmal erklärt werden, wie man nun auf den Term kommt. Weil ich hätte das zu F(u) - F(0) umgeformt. Wieso kommt nach dem F(x) noch das du hin und nicht ganz am Ende? Und wo kommt das x her?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das habe ich noch nicht ganz verstanden, wie man das alles
> so umformen kann.
>
> So hat man ja am Anfang
> [mm]\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du}[/mm]
>
> Nun hast du ja das innere Integral erstmal umgeformt.
>
> [mm]\integral_{0}^{u}{f(t)dt}[/mm]
>
> Aus dem f wird ein F wegen der Stammfunktion. Und man
> subtrahiert von der oberen die untere Funktion.
Genau, also $F(u) - F(0)$.
> Und genau da müsste mir wohl nochmal erklärt werden, wie
> man nun auf den Term kommt. Weil ich hätte das zu F(u) -
> F(0) umgeformt. Wieso kommt nach dem F(x) noch das du hin
> und nicht ganz am Ende? Und wo kommt das x her?
Siehe meine andere Antwort von gerade.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Hallo!
>
> > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig. Zeige Sie mit Hilfe des
> > Hauptsatzes:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{x}{f(t)(x-t) dt}[/mm] =
> > [mm]\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du}[/mm]
>
> Wegen der Stetigkeit besitzt [mm]f[/mm] eine differenzierbare
> Stammfunktion, also es gibt eine Funktion [mm]F[/mm] mit [mm]F' = f[/mm].
>
> Damit kannst du jetzt beide Integrale bearbeiten.
>
> Die rechte Seite der Gleichung kannst du schnell zu
> [mm]\int_0^x F(u) du - x F(0)[/mm] umformen.
Wo kommt denn das x her in dem Term x F(0) !?
> Auf der linken Seite kannst du auch erstmal vereinfachen
> (ausmultiplizieren und in zwei Integrale aufspalten, das
> eine ist einfach da [mm]x[/mm] nicht die Integrationsvariable ist).
Ausmultiplizieren!? Wie funktioniert das!?
[mm] \integral_{0}^{x}{xf(t)-tf(t) dt}?
[/mm]
und dann?
> Danach musst du einmal partielle Integration verwenden und
> schon kuerzt sich alles weg und uebrig bleibt ebenfalls
> [mm]\int_0^x F(u) du - x F(0)[/mm].
>
> LG Felix
>
LG Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] stetig. Zeige Sie mit Hilfe des
> > > Hauptsatzes:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{x}{f(t)(x-t) dt}[/mm] =
> > > [mm]\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du}[/mm]
> >
> > Wegen der Stetigkeit besitzt [mm]f[/mm] eine differenzierbare
> > Stammfunktion, also es gibt eine Funktion [mm]F[/mm] mit [mm]F' = f[/mm].
> >
> > Damit kannst du jetzt beide Integrale bearbeiten.
> >
> > Die rechte Seite der Gleichung kannst du schnell zu
> > [mm]\int_0^x F(u) du - x F(0)[/mm] umformen.
>
> Wo kommt denn das x her in dem Term x F(0) !?
Na, ganz einfach: [mm] $\int_0^x \int_0^u [/mm] f(t) dt du = [mm] \int_0^x [/mm] F(u) - F(0) du = [mm] \int_0^x [/mm] F(u) du - [mm] \int_0^x [/mm] F(0) du = [mm] \int_0^x [/mm] F(u) du - F(0) [mm] \int_0^x [/mm] 1 du = [mm] \int_0^x [/mm] F(u) du - F(0) [mm] \cdot [/mm] x$.
> > Auf der linken Seite kannst du auch erstmal vereinfachen
> > (ausmultiplizieren und in zwei Integrale aufspalten, das
> > eine ist einfach da [mm]x[/mm] nicht die Integrationsvariable ist).
>
> Ausmultiplizieren!? Wie funktioniert das!?
> [mm]\integral_{0}^{x}{xf(t)-tf(t) dt}?[/mm]
> und dann?
Genau. Jetzt teil es in zwei Integrale auf:
[mm] $\int_0^x [/mm] x [mm] \cdot [/mm] f(t) dt - [mm] \int_0^x [/mm] t f(t) dt$.
Jetzt beachte, dass $x$ im vorderen Integral nicht von $t$ abhaengt -- also ist [mm] $\int_0^x [/mm] x f(t) dt = x [mm] \int_0^x [/mm] f(t) dt = x (F(x) - F(0)) = x F(x) - x F(0)$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze
$g(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t)(x-t) dt} [/mm] $ und $ h(x) [mm] =\integral_{0}^{x}{(\integral_{0}^{u}{f(t)dt} )du} [/mm] $
Es ist
$g(x) = x [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}-\integral_{0}^{x}t{f(t) dt}$
[/mm]
Mit der Produktregel und dem Hauptsatz folgt
$g'(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}$,
[/mm]
also ist
$h(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{g'(u)du}$
[/mm]
Der Hauptsatz liefert:
$h'(x) = g'(x)$
Somit ex. eine Konstante c mit:
$h = g+c$ auf [mm] \IR.
[/mm]
Wegen $h(0) = g(0) = 0$ , ist c = 0.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Hey Fred,
könntest du mir vielleicht nochmal die einzelnen Schritte zeigen?
Mir fehlt der Zusammenhang, verstehe es noch nicht ganz!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich habe den Eindruck, dass Du nicht so genau weißt , wie der Hauptsatz lautet.
Kann das sein ? Schreib ihn mal hin.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Also, meiner Meinung nach sagt der Hauptsatz folgendes aus:
Ist F eine Stammfunktion einer stetigen Funktion f, das heißt f = F´, so gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a).
Nur so kenne ich ihn! Jetzt bin ich noch mehr verwirrt!
LG
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also, meiner Meinung nach sagt der Hauptsatz folgendes aus:
>
> Ist F eine Stammfunktion einer stetigen Funktion f, das
> heißt f = F´, so gilt:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = F(b) - F(a).
>
> Nur so kenne ich ihn! Jetzt bin ich noch mehr verwirrt!
Ruhig Blut ! Was Du oben geschrieben hast, ist richtig und manchmal nennt man das den 1. Hauptsatz.
Der 2. Hauptsatz (den habe ich oben verwendet) lautet so:
Ist f auf [a,b] stetig und setzt man
$g(x) = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],
so ist g auf [a,b] stetig differenzierbar und $g'(x) = f(x)$ in jedem x [mm] \in [/mm] [a,b]
Das hattet Ihr sicher.
FRED
>
> LG
> Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 23.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Hey, ja du hast recht, den hatten wir! Aber wie hast du ihn angewendet!?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey, ja du hast recht, den hatten wir! Aber wie hast du ihn
> angewendet!?
Zuerst hat Fred ihn benutzt um die Ableitung von $g(x) = x [mm] \int_0^x [/mm] f(t) dt - [mm] \int_0^x [/mm] t f(t) dt$ auszurechnen. Dazu hat man erstmal die Produktregel:
$g'(x) = [mm] \int_0^x [/mm] f(t) dt + x [mm] \left( \int_0^x f(t) dt \right)' [/mm] - [mm] \left( \int_0^x t f(t) dt \right)'$.
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\left( \int_a^x h(t) dt \right)'$ [/mm] nach dem Hauptsatz gleich $h(x)$, womit
$g'(x) = [mm] \int_0^x [/mm] f(t) dt + x f(x) - x f(x) = [mm] \int_0^x [/mm] f(t) dt$
ist.
Die andere Stelle wo er ihn verwendet hat, ist $h(x)$ abzuleiten.
Wir haben ja $h(x) = [mm] \int_0^x \int_0^u [/mm] f(t) dt du = [mm] \int_0^x [/mm] g'(u) du$, womit nach dem Hauptsatz $h'(x) = g'(x)$ ist.
LG Felix
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Achso, alles klar!
> Zuerst hat Fred ihn benutzt um die Ableitung von [mm]g(x) = x \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt[/mm]
> auszurechnen. Dazu hat man erstmal die Produktregel:
>
> [mm]g'(x) = \int_0^x f(t) dt + x \left( \int_0^x f(t) dt \right)' - \left( \int_0^x t f(t) dt \right)'[/mm].
>
> Jetzt ist [mm]\left( \int_a^x h(t) dt \right)'[/mm] nach dem
> Hauptsatz gleich [mm]h(x)[/mm], womit
>
Wie kommst auf das h(t)? Woher nimmst du das?
> [mm]g'(x) = \int_0^x f(t) dt + x f(x) - x f(x) = \int_0^x f(t) dt[/mm]
>
> ist.
>
> Die andere Stelle wo er ihn verwendet hat, ist [mm]h(x)[/mm]
> abzuleiten.
>
> Wir haben ja [mm]h(x) = \int_0^x \int_0^u f(t) dt du = \int_0^x g'(u) du[/mm],
> womit nach dem Hauptsatz [mm]h'(x) = g'(x)[/mm] ist.
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 23.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Zuerst hat Fred ihn benutzt um die Ableitung von [mm]g(x) = x \int_0^x f(t) dt - \int_0^x t f(t) dt[/mm]
> > auszurechnen. Dazu hat man erstmal die Produktregel:
> >
> > [mm]g'(x) = \int_0^x f(t) dt + x \left( \int_0^x f(t) dt \right)' - \left( \int_0^x t f(t) dt \right)'[/mm].
>
> >
> > Jetzt ist [mm]\left( \int_a^x h(t) dt \right)'[/mm] nach dem
> > Hauptsatz gleich [mm]h(x)[/mm], womit
> >
> Wie kommst auf das h(t)? Woher nimmst du das?
Das ist einfach die allgemeine Form des Hauptsatzes (mit $h$ stetig). Ich wollte nicht $f(t)$ oder $t f(t)$ verwenden.
LG Felix
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