bijektive Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:43 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Es sei f: A [mm] \to [/mm] B eine bijektive Abb zw den Mengen A und B gegeben durch Graph von f [mm] \subset [/mm] A x B
Zeige: Die Menge des Graphen von g := {(b,a) [mm] \in [/mm] B x A | (a,b) [mm] \in [/mm] Graph von f} definiert eine Abbildung g : B [mm] \to [/mm] A |
Heisst das jetzt dass ich direkt zeigen muss dass g eine Abbildung definiert oder kann ich zeigen dass wenn ich weiss das f bijektiv (weiss ich ja durch die aufgabenstellung) ist dann auch eine umkehrabbildung existiert...Wie gehe ich dann vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
Ich nehme jetzt einfach mal an du sitzt mit mir zusammen in der Vorlesung(Köln?)(wegen deinen anderen Einträgen^^)
Wenn ja, der Prof hat an der Stelle an der wir beweisen mussten, dass eine Funktion umkehrbar ist, wenn sie bijektiv ist, gesagt, dass wir das als Hausaufgabe machen sollen.. also können wir das wohl nicht daraus folgern!
Ich weiß aber leider auch nicht so ganz was wir machen müssen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Richtig Köln ;)!! Hat sich eigentlich auch schon erledigt! Ich hätte mir auch mal meine mitschriften durchlesen können als nur sein skript...ich habs einfach direkt aus der definition der Abb. bewiesen...(denke ich)
Gruß
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Damn88 |
kannst du mir das vielleicht sagen? Ich weiß nämlich gar nicht wie ich es zeigen soll :(
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du sagst einfach dass irgendein b [mm] \in [/mm] B gegeben ist. Und dann musst du zeigen dass GENAU ein a [mm] \in [/mm] A existiert.....das ist ja die def der Abbildung: Also [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] ! a [mm] \in [/mm] A :(b,a) [mm] \in [/mm] Graph von g so was ähnliches haben wir in der vorlesung gemacht....dann musst du zum schluss annehmen daass 2 a´s existieren und a1 und a2...und irgendwann kommst du auf a1=a2....und du bist fertig
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Di 30.10.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Hier ist auch ein Kölner ;)
Kannst du mir das vielleicht nochmal ein wenig erläutern?
Hab das bis jetzt glaub nur nich das das passt:
Zu Zeigen:
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B : [mm] \exists! [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (b,a) [mm] \in [/mm] Graph von g
Beweis:
Sei b [mm] \in [/mm] B beliebig
Angenommen es gäbe Elemente [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] mit (b, [mm] a_{1}) \in [/mm] Graph von f und (b, [mm] a_{2}) \in [/mm] Graph von f. Da f eine Abbildung ist muss dann [mm] a_{1} [/mm] =
[mm] a_{2} [/mm] sein.
Hab das jetz so aus meinen Unterlagen zusammen gezimmert. Kann ich das so schreiben ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 30.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Warum glaubst du dass das nicht passt? Dass mit den 2 elementen hast du fast richtig gemacht nur dass du sagen musst dass sowohl (b, [mm] a_1) [/mm] und (b, [mm] a_2) \in [/mm] vom Graphen g sind und das du noch kurz erwähnen solltest dass auch ein a [mm] \in [/mm] A existiert. aber das kann man aus der def folgern. erwähnen solltest du das aber schon...
Gruß
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warum glaubst du dass das nicht passt? Schau dir noch meine bemerkungen im nächsten beitrag an
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 30.10.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Naja diesen hab ich aus dem Beweis in der Vorlesung gefolgert wo es um die Abbildungen A->B und B->C ging, deshalb war ich mir da nich ganz so sicher.
Vielen Dank für deine Hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi das mit der Frage hat sich erübrigt....Hab dennoch eine andere frage! In der 2 Teilaufgabe sollen wir zeigen dass g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B [/mm] ist
Geht das so?
Wir wissen dass f : A [mm] \to [/mm] B eine bij Abb. ist, und somit muss die surjektivität bzw Injektivität nicht mehr gezeigt werden.
[mm] \exists [/mm] eine Abb g: B [mm] \to [/mm] A so dass g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_B
[/mm]
zu zeigen ist also die Existenz einer Abb g: B [mm] \to [/mm] A
Wir wissen f bijektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f surj [mm] \Rightarrow \exists g_1 [/mm] : B [mm] \to [/mm] A mit f [mm] \circ g_1 [/mm] = [mm] id_B [/mm] und f ist bij [mm] \Rightarrow [/mm] f inj [mm] \Rightarrow \exists g_2 [/mm] : B [mm] \to [/mm] A mit [mm] g_2 \circ [/mm] f = [mm] id_A
[/mm]
Es bleibt also noch zu zeigen dass [mm] g_1 [/mm] = [mm] g_2 [/mm] . Man verkettet dazu [mm] g_2 [/mm] von rechts und [mm] g_1 [/mm] von links mit der Identität von B bzw. A und man erhält:
[mm] g_2 [/mm] = [mm] g_2 \circ id_B [/mm] = [mm] g_2 \circ [/mm] ( f [mm] \circ g_1 [/mm] ) = ( [mm] g_2 \circ [/mm] f) [mm] \circ g_1 [/mm] = [mm] id_A \circ g_1 [/mm] = [mm] g_1
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_1 [/mm] = [mm] g_2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Hi das mit der Frage hat sich erübrigt....Hab dennoch eine
> andere frage! In der 2 Teilaufgabe sollen wir zeigen dass g
> [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_A[/mm] und f [mm]\circ[/mm] g = [mm]id_B[/mm] ist
Du darfst natürlich alle Ergebnisse aus Teilaufgabe a.) verwenden. Dort hast du schon g definiert.
Damit ist der Rest trivial: Sei f(a) = b. Nach Definition von g ist dann g(b) = a. Umgekehrt entsprechend.
> Geht das so?
>
> Wir wissen dass f : A [mm]\to[/mm] B eine bij Abb. ist, und somit
> muss die surjektivität bzw Injektivität nicht mehr gezeigt
> werden.
>
> [mm]\exists[/mm] eine Abb g: B [mm]\to[/mm] A so dass g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_A[/mm] und f
> [mm]\circ[/mm] g = [mm]id_B[/mm]
>
> zu zeigen ist also die Existenz einer Abb g: B [mm]\to[/mm] A
> Wir wissen f bijektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f surj [mm]\Rightarrow \exists g_1[/mm]
> : B [mm]\to[/mm] A mit f [mm]\circ g_1[/mm] = [mm]id_B[/mm] und f ist bij [mm]\Rightarrow[/mm]
> f inj [mm]\Rightarrow \exists g_2[/mm] : B [mm]\to[/mm] A mit [mm]g_2 \circ[/mm] f =
> [mm]id_A[/mm]
Die Existenz ist doch mit Teilaufgabe a.) schon klar, oder?
> Es bleibt also noch zu zeigen dass [mm]g_1[/mm] = [mm]g_2[/mm] . Man
> verkettet dazu [mm]g_2[/mm] von rechts und [mm]g_1[/mm] von links mit der
> Identität von B bzw. A und man erhält:
> [mm]g_2[/mm] = [mm]g_2 \circ id_B[/mm] = [mm]g_2 \circ[/mm] ( f [mm]\circ g_1[/mm] ) = ( [mm]g_2 \circ[/mm]
> f) [mm]\circ g_1[/mm] = [mm]id_A \circ g_1[/mm] = [mm]g_1[/mm]
> [mm]\Rightarrow g_1[/mm] = [mm]g_2[/mm]
>
Gruß
Will
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