bijektive lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 15.01.2009 | | Autor: | LiN24 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR³ \to \IR³ [/mm] eine bijektive lineare Abbildung. Man zeige, dass das Bild einer Geraden wieder eine Gerade ist. |
Hallo,
bijektiv bedeutet ja, dass die Abbildung injektiv und surjektiv sein muss...
aber wie zeige ich jetzt, dass das Bild einer Gerade wieder eine Gerade ist?
Könnte mir jemand mal bitte genau erklären, was ich alles zeigen muss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 15.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Eine Gerade ist eine Menge der Form [mm] $\{x+\lambda y\mid x,y\in\IR^3,y\ne 0,\lambda\in\IR\}$. [/mm] Zeige, dass das Bild einer solche Menge unter einer Bijektiven linearen Abbildung wieder eine Menge dieser Form ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | LiN24 |
für ne lineare Abbildung:
1) f(x) + f(y) = f(x+y)
2) [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x)
für bijektive lineare Abbildung:
wenn Abbildungsmatrix regulär ist (das bedeutet glaube ich, dass sie invertierbar ist)
...aber wie führe ich den Beweis jetzt, ich komme da immer noch nicht weiter
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> für ne lineare Abbildung:
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> 1) f(x) + f(y) = f(x+y)
> 2) [mm]f(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] f(x)
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> für bijektive lineare Abbildung:
>
> wenn Abbildungsmatrix regulär ist (das bedeutet glaube ich,
> dass sie invertierbar ist)
>
> ...aber wie führe ich den Beweis jetzt, ich komme da immer
> noch nicht weiter
Hallo,
wende die Abbildung doch mal auf [mm] x+\lambda [/mm] y an.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:20 So 18.01.2009 | | Autor: | LiN24 |
ich weiß immer noch nicht, wie ich die Abbildung auf die Gleichung x + [mm] \lambda [/mm] y anwenden soll....würde mich freuen, wenn mir einer die Gleichungen aufstellen könnte...weiß nicht, was bei der Geradengleichung x, y und [mm] \lambda [/mm] bedeuten
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.weiß
> nicht, was bei der Geradengleichung x, y und [mm]\lambda[/mm]
> bedeuten
Hallo,
vielleicht liest Du erstmal ![[]](/images/popup.gif) dort oder - vielleicht besser - in Deinem alten Mathebuch.
Rückfragen dann gerne hier.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 18.01.2009 | | Autor: | LiN24 |
ich hab mich erstmal weiter an der Aufgabe versucht und bin jetzt erstmal so weit gekommen:
g: [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{r_{0}} [/mm] + [mm] \lambda \vec{u}
[/mm]
wobei [mm] \vec{r}, \vec{r_{0}} [/mm] und [mm] \vec{u} [/mm] Vektoren im Raum und [mm] \lambda [/mm] Koordinate im affinen Koordinatensystem
daraus für g in R³:
[mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}
[/mm]
dann Bedingungen für lineare Abbildung angewendet:
f [mm] \vektor{x_{1} + \lambda y_{1} \\ x_{2} + \lambda y_{2} \\ x_{3} + \lambda y_{3}} [/mm] + f [mm] \vektor{x'_{1} + \lambda' y'_{1} \\ x'_{2} + \lambda' y'_{2} \\ x'_{3} + \lambda' y'_{3}} [/mm] = f [mm] \vektor {(x_{1} + \lambda y_{1}) + (x'_{1} + \lambda' y'_{1}) \\ (x_{2} + \lambda y_{2}) + (x'_{2} + \lambda' y'_{2}) \\ (x_{3} + \lambda y_{3}) +(x'_{3} + \lambda' y'_{3})} [/mm]
[mm] \mu [/mm] f [mm] \vektor{x_{1} + \lambda y_{1} \\ x_{2} + \lambda y_{2} \\ x_{3} + \lambda y_{3}} [/mm] = f [mm] \vektor{\mu (x_{1} + \lambda y_{1}) \\ \mu (x_{2} + \lambda y_{2}) \\ \mu (x_{3} + \lambda y_{3})} [/mm]
ist das jetzt so richtig, um zu zeigen, dass das Bild einer Geraden wieder eine Gerade ist, wenn f: R³ [mm] \to [/mm] R³ eine bijektive Abbildung ist....ich seh da nämlich noch nicht, wie ich das damit zeige und beim Beweis für bijektiv weiß ich gar nicht mehr weiter oder ist das überhaupt richtig, was ich da gemacht habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 18.01.2009 | | Autor: | pelzig |
Ich hab mir deine Lösung jetzt nicht so genau angeschaut, denn es sieht einfach zu kompliziert aus. Nochmal:
Eine Gerade G ist eine Menge der Form [mm] $\{x+\lambda y\mid \lambda\in\IR\}$ [/mm] wobei [mm] $x,y\in\IR^3$ [/mm] und [mm] $y\ne0$ [/mm] ist.
Hat man eine Lineare Abbildung [mm] $f:\IR^3\to\IR^3$, [/mm] so ist [mm] $f(G)=\{f(x)+\lambda f(y)\mid\lambda\in\IR\}$ [/mm] also wieder eine Gerade, denn $f(x),f(y)$ sind einfach irgendwelche Vektoren in [mm] $\IR^3$ [/mm] und [mm] $f(y)\ne0$, [/mm] weil f bijektiv, also injektiv ist (!!!).
Gruß, Robert
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