binäre Relation kostet nerven! < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Do 17.11.2005 | | Autor: | Gerd52 |
Hallo Forumsfreunde,
ich bräuchte bei der Aufgabe eure Hilfe.
Wieder eine binäre Relation Rel [mm] \subseteq [/mm] A x A die in einer Menge A symmetrisch, linkstotal und linkseindeutig sei.
Muss denn die Rel zwangsläufig eine bijektive Funktion sein und wie kann man das mit einem Beispiel darstellen?
Ich bräuchte ein Beispiel zum Verständnis.
Danke
leider erhalte ich immer so oft Serverlast zu hoch und ich muss mich immer wieder neu anmelden. Schade!
viele Grüße
Gerd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Fr 18.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> Wieder eine binäre Relation Rel [mm]\subseteq[/mm] A x A die in
> einer Menge A symmetrisch, linkstotal und linkseindeutig
> sei.
> Muss denn die Rel zwangsläufig eine bijektive Funktion
> sein und wie kann man das mit einem Beispiel darstellen?
> Ich bräuchte ein Beispiel zum Verständnis.
Ich versuche es mal zu zeigen und ein Beispiel 'mitzuziehen'. Ich bin mir aber nicht ganz sicher, zumindest brauche ich die Symmetrie nicht.
Ich habe also eine Menge A (zum Beispiel [mm]\{1,2,3,4\}[/mm].
A) Die Relation [mm]R\subseteq A\times A[/mm] ist linkstotal, das heißt, daß
es zu jedem [mm]a\in A[/mm] mindestens ein [mm]b\in A[/mm] gibt mit [mm](a,b)\in R[/mm] (Zum Beispiel [mm]\{(1,1), (1,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,1)\}[/mm]. Sicher ist aber: [mm]|R|\geq |A|[/mm], denn jedes Element muß ja mal links vorkommen.
B) Die Relation ist darüberhinaus linkseindeutig, d.h. wenn [mm](a,b), (a^\prime, b)\in R[/mm], dann muß [mm]a=a^\prime[/mm] sein. Anders ausgedrückt: Zu jedem [mm]b\in A[/mm] kann es maximal ein [mm]a\in A[/mm] geben mit [mm](a,b)\in R[/mm]. Das schränkt die Relation aber darauf ein, daß [mm]|R|\leq |A|[/mm], denn jedes Element kann nur einmal rechts stehen.
Zusammengenommen ist also [mm]|R|=|A|[/mm] und jedes Element muß genau einmal links stehen (weil jedes mindestens einmal links stehen muß nach A), und jedes Element muß genau einmal rechts stehen (weil jedes maximal einmal rechts stehen darf nach B).
Wie sieht so eine Relation jetzt aus? Ich gehe die [mm]a\in A[/mm] durch und wähle jeweils ein [mm]b\in A[/mm] (aber keins zum zweiten Mal) für ein [mm](a,b)\in R[/mm].
Ein Beispiel: [mm]R=\{(1,2), (2,4), (3,1), (4,3)\}[/mm].
Solche Relationen sind sicher bijektive Funktionen, denn sie sind linkstotal (nach Voraussetzung) und linkseindeutig (weil sie darauf beschränkt sind, [mm]|A|[/mm] Elemente zu enthalten.
* Nimmt man die Symmetrie noch hinzu, ist die Funktion sogar selbstinvers, dann sieht sie zum Beispiel so aus: [mm]R=\{(1,3), (3,1), (2,2), (4,4)\}[/mm]. Bei der Konstruktion wählt man immer ein unbenutzes Paar [mm](1,3)[/mm], was man in beiden Richtungen hinzufügt, oder ein einzelnes Element, das man reflexiv einfügt ([mm](2,2)[/mm].
> Danke
Wie gesagt, ich bin mir nicht ganz sicher, weil ich die Symmetrie nicht gebraucht habe, aber ich hoffe, es stimmt alles.
> leider erhalte ich immer so oft Serverlast zu hoch und ich
> muss mich immer wieder neu anmelden. Schade!
Tja, das Problem hat wohl gerade jeder.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Gerd52 |
Das hilft mir weiter! vielen Dank!
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