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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
| Aufgabe | In einer Lieferung von Schrauben einer bestimmten Sorte befinden sich nach Fabrikangabe 10% Ausschussstücke. Zehn Schrauben werden zufällig mit Zurücklegen entnommen.
b.) Der Käufer entschließt sich, die Lieferung zurückzusenden, wenn die Anzahl der defekten Schrauben in der Sichprobe drei oder noch größer sein sollte. Sonst wird die Lieferung angenommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für irrtümliche Zurückweisung. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so ganz obwohl ich die Lösung zur Aufgabe habe. Die besagt, dass man [mm] P(X\ge3) [/mm] berechnen muss und das dann die Lösung ist. (Ich gehe davon aus, dass X= Anzahl der defekten Schrauben)
Damit berechne ich ja die Wahrscheinlichkeit das min. 3 Schrauben defekt sind. Also die Wahrscheinlichkeit das man die Lieferung nicht annimmt. Mir fehlt bei dieser Rechnung das "irrtümlich", wie es in der Aufgabenstellung formuliert ist. Unter irrtümlicher Zurückweisung verstehe ich: man denkt es sind min. 3 Schrauben defekt, in Wahrheit sind es aber nur max.2
Die Lösung und mein Verständnisproblem könnte ich dann unter einen Hut bringen wenn ich sage, das 10% defekte Schrauben bei 10 Schrauben besagt, dass durchschnittlich eine 1 Schraube defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass dann min.3 von den 10 Schrauben defekt ist, ist ziemlich gering und genau dadurch habe ich das irrtümlich drin.
Ich habe dann mal die gleiche Aufgabe zum besseren Verständnis mit einem Ausschussanteil von 60% gerechnet. Die Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurückweisung müsste doch dann niedriger sein weil es unwahrscheinlicher als bei 10% Ausschuss ist das max.2 Schrauben defekt sind. Rein rechnerisch ist die Wahrscheinlichkeit aber bei über 98%.
Hoffe mir kann jemand helfen, diese Fragestellung kam bei mir schon öfters vor,
vielen Dank,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 So 04.02.2007 | | Autor: | luis52 |
Ich meine, du verwechselst die Grundgesamtheit (GG) mit der Stichprobe (SP). Die GG ist die Lieferung mit, sagen wir, 100000 Schrauben und die Stichprobe (SP) sind die 10 zufaellig ausgewaehlten Schrauben. "Irrtuemlich" bedeutet, dass du mindestens 3 defekte Schrauben in der SP findest, obwohl in der GG 10%, also 10000 defekte sind. Ist der Anteil derfekter Schrauben in der GG (nicht der SP !) [mm] $0\le p\le [/mm] 1$, so wird die Lieferung irrtuemlich abgelehnt, wenn das Ereignis [mm] $(X\ge [/mm] 3)$ eintritt unter der Bedingung, dass gilt $p=0.1$. Auf diese Weise kommt vermutlich die Loesung zustande. "Vermutlich" deswegen, weil du nicht mitteilst, was als Loesung vorgeschlagen wird.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
Die Lösung ist 0,07019.
> "Irrtuemlich" bedeutet,
> dass du mindestens 3 defekte Schrauben in der SP findest,
> obwohl in der GG 10%, also 10000 defekte sind.
Das soll heißen, dass normalerweise nur 1 von den 10 Schrauben defekt sein dürfte. (weil p(defekt) = 0,1)
Wenn ich 3 von 10 Schrauben als defekt erkenne wäre die Wahrscheinlichkeit/ Anteil der defekten Schrauben nicht 0,1 sondern 0,3. Das ist aber nicht der Fall und deswegen "stimmt" das Ergebnis nicht und man weißt die Schrauben irrtümlich zurück. (weil 3 statt normalerweise 1 Schraube defekt ist, abgesehen vom Toleranzbereich, dass auch 2 defekte Schrauben noch nicht zum zurücksenden führen)
>Ist der Anteil derfekter Schrauben in der GG (nicht der SP !) $ [mm] 0\le p\le [/mm] 1 $, >so wird die Lieferung irrtuemlich abgelehnt, wenn das Ereignis $ [mm] (X\ge [/mm] 3) $ >eintritt unter der Bedingung, dass gilt $ p=0.1 $.
Bezieht sich jetzt die Wahrscheinlichkeit p=0,1 auf die Wahrscheinlichkeit/ Anteil der defekten Schrauben in der GG oder in SP? Ich glaube, ich verwechsle das immer wieder.
Vielen Dank für die Hilfe bisher,
christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Naja
es geht doch um folgendes Problem:
Der Verkäufer sagt mir, es seien 10% Ausschuss in der Lieferung.
Nun sage ich: Das glaube ich nicht, ich glaube, dass der Ausschuss höher ist, und teste dann.
Der Käufer sagt sich dann: Ziehe ich doch mal 10 Schrauben raus, und wenn ich dann drei oder mehr Schrauben finde, die defekt sind, sage ich mir: Nein, das kann nicht sein, der Ausschussanteil in der Lieferung muss höher sein.
Nun kann es doch aber auch sein, dass der Ausschussanteil tatsächlich 10% beträgt, und du in deiner Stichprobe blöderweise den Zufall hattest, dass du wirklich drei oder mehr defekte Schrauben erwischt hast. Das kann ja sein.
Und wenn das so ist, dann weist du die Lieferung irrtümlich zurück.
D.h., du berechnest dann die Wahrscheinlichkeit, dass du drei oder mehr defekte Schrauben findest bei der Wahrscheinlichkeit von 10% für Ausschuss:
X: Anzahl der defekten Schrauben
X ist B(10;0,1)-verteilt
P(X>=3)=1-P(X<=2)=1-0,92981=0,07019=7,0%
Soweit verständlich?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
ok, danke, soweit kapier ich es jetzt.
Was ich noch nicht so ganz verstehe für welchen Bereich von p das ganze Sinn macht.
Bsp.: Die Wahrscheinlichkeit für defekte Schrauben sei nun 0,6 statt der bisherigen 0,1. Andere Angaben bleiben gleich. Dann ergibt sich bei mir für die irrtümliche Zurückweisung (P (X>=3) = 98,77%)
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit dass ich die Schrauben zurück schicke obwohl es weniger als 3 defekte von 10 Schrauben sind ist höher als bei p=0,1. (Macht das dann überhaupt noch Sinn die Grenze bei 3 defekten Schrauben zu setzen wenn ich weiß das durchschnittlich 0,6 defekt sind?)
Rein rechnerisch kapier ich schon, dass die Wahrscheinlichkeit für P(X>=3) für p=0,6 größer sein muss als bei p=0,1. Aber wenn ich das Ergebnis deute heißt das, dass je höher p ( Wahrscheinlichkeit für defekte Schraube) ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurückweisung. Und das müsste doch genau anderst rum sein, denn: je höher der Anteil der defekten Schrauben ist, desto eher habe ich dann doch auch bei einer Stichprobe (z.b: 10 Schrauben) mehr als 2 defekte mit dabei und schicke deshalb die Schrauben zu recht zurück.
Was die irrtümliche Annahme der Schrauben angeht kapier ich das schon. Je höher der Anteil der defekten Schrauben ist, desto niedriger ist die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Annahme. Grund: die wahrscheinlichkeit bei einer Stichprobe von z.b.: 10 Schrauben mehr als 2 defekte zu finden steigt ja mit der Wahrscheinlich der defekten Schrauben in der gesamten Menge. (Bsp.:wie oben, p=0,1 wird auf p=0,6 erhöht)
Vielen dank,
christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Ich denke es geht hier in dem Beispiel darum, dass der Ausschuss nun 0,6 sei.
Nun sollst du wohl berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man die Sendung behält, obwohl der Ausschuss 0,6 ist.
Wie heißt denn die Fragestellung bzw. die Aufgabe genau?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
| Aufgabe | | c.) Angenommen, der Ausschussanteil ist nicht 10%, sondern in Wahrheit 20%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dann die Lieferung irrtümlicherweise angenommen? |
Jein, in der Aufgabenstellung haben sie p lediglich auf 0,2 erhöht. Eine Teilaufgabe später dann noch auf 0,3 mit gleicher Fragestellung wie c.
Das p=0,6 ist habe ich einfach festgelegt weil ich die Aufgabe verstehen will und nicht einfach mit den vorgebenen Wahrscheinlichkeiten runter rechne ohne nachzudenken was ich da mache.
Wie gesagt ist in der nächsten Teilaufgabe p=0,3, d.h. 3 von 10 sind im Durchschnitt defekt. Mit meinen p=0,6, d.h. 6 von 10 sind defekt wollte ich fragen ob die Aufgabe dann noch so Sinn machen würde wenn ich die Grenze ob Annahme oder Zurücksenden weiter bei 3 von 10 defekten Schrauben lasse. Denn p=0,6 wäre ja n ganzes Stückchen über der Grenze von 3.
Aber auch mit p=0,2 verstehe ich das "Verhalten" der Wahrscheinlichkeit für irrtümliche Zurücksendung bei der Erhöhung von p=0,1 auf p=0,x (x>1) nicht. (siehe voriges Posting)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Also.
In der ersten Aufgabe mit dem P(X>=3) habe ich dir ja schon die Erklärung gegeben. Haste das soweit verstanden?
Bei der Aufgabe, die du vorhin gepostet hast geht es darum:
Der Käufer nimmt die Lieferung doch dann an, wenn er weniger als Drei defekte Schrauben findet, wenn er Zehn aus der Lieferung findet.
Nun ist der Ausschussanteil p=0,2.
Da ist dann die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung irrtümlicherweise angenommen.
D.h. für mich als Käufer ist der Ausschussanteil viel zu hoch.
Ich mache aber eine Stichprobe, indem ich Zehn Schrauben aus der Lieferung ziehe.
Ziehe ich weniger als drei defekte Schrauben, so nehme ich die Lieferung an. Und das, owbohl der Ausschussanteil bei p=0,2 liegt.
Und das ist ja für mich als Käufer dann ein blöder Zufall gewesen, weil der Ausschussanteil ja viel zu hoch ist.
Um diese Wahrscheinlichkeit dieses für mich blöden Zufalls zu berechnen, rechne ich folgendes:
X: Anzahl der defekten Schrauben
X ist B(10;0,2)-verteilt
Und dann berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass ich weniger als drei defekte Schrauben ziehe:
P(X<=2)=67,8%
Verstehst du die Logik, die dahinter steckt?
Wenn nein, frag nach, was genau du da nicht verstehst, denn diese Logik wirst du bei allen Hypothesentests brauchen.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
> Also.
>
> In der ersten Aufgabe mit dem P(X>=3) habe ich dir ja schon
> die Erklärung gegeben. Haste das soweit verstanden?
Ja.
> Bei der Aufgabe, die du vorhin gepostet hast geht es
> darum:
>
> Der Käufer nimmt die Lieferung doch dann an, wenn er
> weniger als Drei defekte Schrauben findet, wenn er Zehn aus
> der Lieferung findet.
Du meinst, wenn der Käufer Zehn Schrauben aus der Lieferung nimmt? Ansonsten verstehe ich den Satz nicht.
> Nun ist der Ausschussanteil p=0,2.
> Da ist dann die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird
> die Lieferung irrtümlicherweise angenommen.
>
> D.h. für mich als Käufer ist der Ausschussanteil viel zu
> hoch.
> Ich mache aber eine Stichprobe, indem ich Zehn Schrauben
> aus der Lieferung ziehe.
> Ziehe ich weniger als drei defekte Schrauben, so nehme ich
> die Lieferung an. Und das, owbohl der Ausschussanteil bei
> p=0,2 liegt.
> Und das ist ja für mich als Käufer dann ein blöder Zufall
> gewesen, weil der Ausschussanteil ja viel zu hoch ist.
Wieso viel zu hoch? Wenn der Ausschussanteil 0,2 beträgt sind durchschnittlich 2 von 10 defekt. Und die Grenze liegt bei 3. Es ist knapp aber wäre p=0,6 wie ich oben gepostet habe wäre es doch viel viel knapper weniger als 3 defekte von 10 Schrauben zu erwischen.
Was ich immer noch nicht verstehe: Wieso erhöht sich die Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurücksendung wenn der Anteil/ Wahrscheinlichkeit der defekten Schrauben steigt?
Je höher der Anteil der defekten Schrauben ist, desto größer ist doch die Wahrscheinlichkeit für eine gerechtfertigte(= nicht irrtümliche) Zurücksendung der Schrauben!
Danke für deine Hilfe bisher,
christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
> > Also.
> >
> > In der ersten Aufgabe mit dem P(X>=3) habe ich dir ja schon
> > die Erklärung gegeben. Haste das soweit verstanden?
>
> Ja.
>
> > Bei der Aufgabe, die du vorhin gepostet hast geht es
> > darum:
> >
> > Der Käufer nimmt die Lieferung doch dann an, wenn er
> > weniger als Drei defekte Schrauben findet, wenn er Zehn aus
> > der Lieferung findet.
>
> Du meinst, wenn der Käufer Zehn Schrauben aus der Lieferung
> nimmt? Ansonsten verstehe ich den Satz nicht.
Ja, sry, hab falsch formuliert. Muss natürlich heißen, wenn er 10 aus der Lieferung nimmt.
>
> > Nun ist der Ausschussanteil p=0,2.
> > Da ist dann die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit
> wird
> > die Lieferung irrtümlicherweise angenommen.
> >
> > D.h. für mich als Käufer ist der Ausschussanteil viel zu
> > hoch.
> > Ich mache aber eine Stichprobe, indem ich Zehn
> Schrauben
> > aus der Lieferung ziehe.
> > Ziehe ich weniger als drei defekte Schrauben, so nehme
> ich
> > die Lieferung an. Und das, owbohl der Ausschussanteil bei
> > p=0,2 liegt.
> > Und das ist ja für mich als Käufer dann ein blöder
> Zufall
> > gewesen, weil der Ausschussanteil ja viel zu hoch ist.
>
> Wieso viel zu hoch? Wenn der Ausschussanteil 0,2 beträgt
> sind durchschnittlich 2 von 10 defekt. Und die Grenze liegt
> bei 3. Es ist knapp aber wäre p=0,6 wie ich oben gepostet
> habe wäre es doch viel viel knapper weniger als 3 defekte
> von 10 Schrauben zu erwischen.
>
> Was ich immer noch nicht verstehe: Wieso erhöht sich die
> Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurücksendung wenn der
> Anteil/ Wahrscheinlichkeit der defekten Schrauben steigt?
> Je höher der Anteil der defekten Schrauben ist, desto
> größer ist doch die Wahrscheinlichkeit für eine
> gerechtfertigte(= nicht irrtümliche) Zurücksendung der
> Schrauben!
>
> Danke für deine Hilfe bisher,
> christoph
Ja, da hast du recht...aber ich denke, du verstehst die Fragestellung "falschherum"
In dem ersten Aufgabenteil wird danach gefragt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Verkäufer die Lieferung irrtümlicherweise Zurücksendet. Also NICHT annimmmt.
Bei dem zweiten Aufgabenteil geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass der Käufer die Lieferung irrtümlicherweise ANNIMMT, also NICHT zurücksendet.
Du hast zwar recht, dass bei größerem Ausschussanteil die Wahrscheinlichkeit steigt, dass der Käufer die Ware zurecht zurückschickt, aber danach ist in dem zweiten Aufgabenteil NICHT gefragt.
Man fragt doch danach: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Käufer die Lieferung irrtümlicherweise ANNIMMT.
Und da musst du dann wie oben schon beschrieben P(X<3) berechnen, und in diesem Fall ist X dann B(10;0,2)-verteilt.
Du hast da denke ich ein logisches Problem.
Ist es jetzt klarer geworden?
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
Ich habe schon erkannt wann nach der Wahrscheinlichkeit für die Annahme und wann für die Rücksendung gefragt wird.Die Frage am Ende des vorigen Postings sollte unabhängig von der Teilaufgabe sein.
So ganz habe ich es noch nicht verstanden wie die Frage am Ende des vorigen Postings zeigt...
vielleicht finde ich im Internet noch eine Beispielaufgabe
> Du hast zwar recht, dass bei größerem Ausschussanteil die
> Wahrscheinlichkeit steigt, dass der Käufer die Ware zurecht
> zurückschickt, aber danach ist in dem zweiten Aufgabenteil
> NICHT gefragt.
Aber wieso steigt dann die Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurücksendung wenn p (ausschuss) größer wird? Ganz unabhängig von der Teilaufgabe jetzt, eher allg.
Ja, ist wohl eher ein logisches Problem bei mir.
Trotzdem danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Nun ja, das liegt einfach daran, weil ich den Wert, ab wann ich zurückschicke, festgelegt habe.
Ich sage ja immer: Wenn ich mehr als zwei defekte Schrauben habe, schicke ich zurück.
Also musst du das immer konkret im Zusammenhang sehen.
Aber da hast du dann den Grenzfall, dass die Wahrscheinlichkeit für mehr als zwei defekte Schrauben schon bei 100% liegt.
Und da kannst du dann nicht mehr so argumentieren, dass dann die Wahrscheinlichkeit, das irrtümlich zu tun bei 100% liegt.
Du hsat dann ja in dem Fall genau recht, dass du die Lieferung zurückschickst.
Das liegt einfach an deiner festgelegten Grenze von mehr als zwei defekten Schrauben, die bei diesen hohen Wahrscheinlichkeiten unvernünftig sind.
So etwas wirst du auch eigentlich nirgendwo finden....
Ansonsten such mal nach einer anderen Aufgabe...dann können wir die zusammen lösen.
Slaín,
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 So 04.02.2007 | | Autor: | kid |
Danke, das war es was ich meinte. Irgendwann ist es dann nicht mehr irrtümlich sondern gerechtfertigt die Dinger zurückzuschicken. Vermutlich wird so eine hohe Ausschusswahrscheinlichkeit auch nicht vorkommen, aber mir ging es auch mehr um die Theorie.
Wenn ich die Fragestellungen ohne das "irrtümlich" lese kapiere ich auch die Rechnungen dazu. Was mit irrtümlich gemeint ist (dass man eben zufälligerweise mehr als der Durchschnitt an defekten Schrauben in der Stichprobe erwischt) habe ich nun auch kapiert. Aber Rechnung+ irrtümliche Annahme/ Zurückweisung zusammen bringe ich noch nicht so ganz unter einen Hut.
Ich frage morgen mal meinen Lehrer ob er mir das nochmal erklären kann und dann melde ich mich wieder.
Vielen Dank auf jeden Fall,
schönen Abend noch,
christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 So 04.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja, ich fänd ich gut, wenn du dann die Erklärung deines Lehrer posten würdest.
Ich meine, es liegt wohl einfach daran, weil der Erwartungswert oberhalb der unteren Grenze deines Verwerfungsbereichs liegt, wenn du p so hoch wählst.
Bis morgen dann,
Kroni
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:17 Di 06.02.2007 | | Autor: | kid |
hi,
wir haben gestern noch in der klasse darüber geredet, aber so ganz klar ist es mir noch nicht.
Ich weiß zwar was die aufgabensteller von mir verlangen zu rechnen, aber die rechnung passt meines erachtens nicht zur frage.
Bei mir heißt irrtümliche Zurückweisung: ich schicke die Produkte zurück weil ich aufgrund der Stichprobe in der ich min. 3 defekte Produkte finde, denke das durschnittlich min. 3 defekt sind obwohl es in Wahrheit weniger sind (ich aber Pech habe und genau die defekten in der Stichprobe erwischt habe)
Ich berechne also die Wahrscheinlichkeit für min.3 defekte Produkte von der Stichprobe mit n=10. Nur frage ich mich dann wo das irrtümlich in dieser Rechnung steckt? Ist mit irrtümlich gemeint, dass p=0,1 besagt, dass ich normalerweise nur 1 defektes Produkt in dieser Stichprobe vom Umfang 10 finden sollte. Ich finde aber mehr und deswegen ist es irrtümlich.
Wenn ich die Aufgabenstellungen ohne das irrtümlich lese verstehe ich die Rechnung dazu. Zeichne ich mir ein Diagramm mit x-Achse: Ausschussanteil und y- Achse: Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurückweisung dann erkenne ich das je höher der Ausschussanteil ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit der irrtümlichen Zurücksendung. Das verstehe ich nicht!
Was ich verstehe ist, dass je höher der Aussschussanteil ist, desto höher ist die Wahrscheinlichket der Zurücksendung (nicht der IRRTÜMLICHEN Zurücksendung!)
Hoffe damit ist klar wo ich gedanklich hänge,
freue mich über jegliche Erklärungsversuche 
christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 09.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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