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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Di 11.07.2006 | | Autor: | nikky |
| Aufgabe | Für alle a,b ungleich 0 und für alle n Element in N:
[mm] a^n-b^n= (a-b)*\summe_{i=0}^{n-1}a^n^-^1^-^i*b^i [/mm] |
Wer hat den Beweis noch griffbereit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Di 11.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nikky!
Dieser Beweis schreit ja förmlich nach dem Verfahren der vollständigen Induktion.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 12.07.2006 | | Autor: | nikky |
Das es sich um vollständige Induktion handelt, hatte ich auch erkannt. Beim Induktionsschluß bleibe ich allerdings stecken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo nikky!
Dann poste doch mal Deine Zwischenschritte, wie weit Du kommst, damit wir das gemeinsam durchgehen können ...
Gruß
Loddar
PS: Auch Dir natürlich erstmal ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:09 Fr 14.07.2006 | | Autor: | nikky |
Induktionsanfang:
Für n=1 gilt:
a-b = [mm] (a-b)*a^0*b^0
[/mm]
Induktionsschluß:
Für k Elemant in N gilt:
[mm] a^k-b^k [/mm] = (a-b)* [mm] \summe_{i=0}^{k-1} a^k^-^1^-^i*b^i
[/mm]
Beh.: Dann findet man auch ein k+1 Element in N und für dieses gelte:
[mm] a^k^+^1-b^k^+^1 [/mm] = (a-b) * [mm] \summe_{i=0}^{k} a^k^-^i* b^i
[/mm]
Bew.:
n.V. gilt: [mm] a^k^+^1 [/mm] - [mm] b^k^+^1 [/mm] = [mm] a^k [/mm] - [mm] b^k [/mm] + [mm] (a-b)*b^k
[/mm]
soweit mein Latein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 18.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 11.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nikky,
Zur Not (soll heissen, wenn nicht anderes mehr funktioniert) kannst du das ganze von rechts nach links auch einfach nachrechnen.
Also
[mm] [\summe_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i} b^{i}] [/mm] (a-b)
= [mm] [b^{0}a^{n-1} [/mm] + [mm] b^{1} a^{n-2} [/mm] + [mm] b^{2} a^{n-3} +...+a^{n-1-(n-1)} b^{n-1}] [/mm] (a-b)
[mm] =[b^{0} a^{n} [/mm] + [mm] b^{1} a^{n-1} [/mm] + [mm] b^{2} a^{n-2} [/mm] +...+ [mm] a^{1} b^{n-1}] [/mm] - [mm] [b^{1} a^{n-1} [/mm] + [mm] b^{2} a^{n-2} [/mm] + [mm] b^{3} a^{n-3} +...+a^{0} b^{n}]
[/mm]
Und wenn du jetzt ganz genau hinsiehst, fallen hier alle Terme bis auf die gewünschten weg, so dass gilt
[mm] [b^{0}a^{n} [/mm] + [mm] b^{1} a^{n-1} [/mm] + [mm] b^{2} a^{n-2} +...+a^{1} b^{n-1}] [/mm] - [mm] [b^{1}a^{n-1} [/mm] + [mm] b^{2} a^{n-2} [/mm] + [mm] b^{3} a^{n-3} +...+a^{0} b^{n}]
[/mm]
= [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] .
Ich hoffe, das hilft weiter
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mi 12.07.2006 | | Autor: | nikky |
Danke! Das hilft mir weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mi 12.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für alle a,b ungleich 0 und für alle n Element in N:
> [mm]a^n-b^n= (a-b)*\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i} b^i[/mm]
> Wer hat
> den Beweis noch griffbereit?
Das ist uebrigens nicht die binomische Formel (und hat auch nicht viel mit ihr zu tun), sondern die geometrische Summenformel bzw. eine allgemeinere Form von ihr. Du kannst naemlich umschreiben: [mm](a-b)*\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i} b^i = a^n (1 - b/a) \sum_{i=0}^{n-1} (b/a)^i \overset{\text{geom. S.F.}}{=} a^n (1 - b/a) \frac{1 - (b/a)^n}{1 - b/a} = a^n (1 - (b/a)^n) = a^n-b^n[/mm]. Natuerlich sollte $a [mm] \neq [/mm] b$ sein, aber den Fall $a = b$ kann man auch anders schnell erledigen 
LG Felix
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