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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:04 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Könnte mir mal bitte jmd. erklären, wie ich von folgender binomischer Reihe
[Dateianhang nicht öffentlich]
die ersten Glieder von [mm] a_{k} [/mm] und [mm] a_{k+1} [/mm] bilde?
Das müsste raus kommen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider habe ich mich vorher nie mit binomischen Reihen beschäftigt, deshalb habe ich keine Ahnung, wie man darauf kommt.
Ich wäre für eine ausführliche und "einfache Erklärung" dankbar 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 29.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Maiko
> Könnte mir mal bitte jmd. erklären, wie ich von folgender
> binomischer Reihe
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> die ersten Glieder von [mm]a_{k}[/mm] und [mm]a_{k+1}[/mm] bilde?
> Das müsste raus kommen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Leider habe ich mich vorher nie mit binomischen Reihen
> beschäftigt, deshalb habe ich keine Ahnung, wie man darauf
> kommt.
>
> Ich wäre für eine ausführliche und "einfache Erklärung"
> dankbar
Entweder einfach oder ausführlich! 
Ich versuche es eimal mit einfach.
Das Ganze geht über die Definition von n tief k [mm] $\vektor{n\\k}$.
[/mm]
Das kannst du dir so merken: man bilde einen Bruch, wobei man im Zähler mit n beginnend, ein Produkt bildet, deren Faktoren immer um 1 vermindert werden, und zwar solange, bis man k Faktoren hat. Im Nenner nimmst du einfach k! . Hier gleich noch die Anmerkung, dass gilt: k!(k+1)=(k+1)!
Jetzt machen wir einfach einige Beispiele:
[mm] $\vektor{4\\0}=\bruch{?}{0!}=\bruch{1}{1}=1$ [/mm] per Definition
[mm] $\vektor{4\\1}=\bruch{4}{1!}=\bruch{4}{1}=4$
[/mm]
[mm] $\vektor{4\\2}=\bruch{4*3}{2!}=\bruch{12}{2}=6$
[/mm]
[mm] $\vektor{4\\3}=\bruch{4*3*2}{3!}=\bruch{24}{6}=4$
[/mm]
[mm] $\vektor{4\\4}=\bruch{4*3*2*1}{4!}=\bruch{24}{24}=1$
[/mm]
Und jetzt das erste Aha!:
[mm] $\vektor{4\\5}=\bruch{4*3*2*1*0}{5!}=\bruch{0}{120}=0$
[/mm]
[mm] $\vektor{4\\6}=\bruch{4*3*2*1*0*(-1)}{6!}=\bruch{0}{720}=0$
[/mm]
[mm] $\vektor{4\\7}=\bruch{4*3*2*1*0*(-1)*(-2)}{7!}=\bruch{0}{5040}=0$
[/mm]
... und so weiter, immer mit dem Resultat Null.
Es gilt also: wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist n tief k Null, sobald k grösser als n ist.
Das Gleiche kannst du aber auch machen, wenn n nicht eine natürliche Zahl ist. Es geht genau gleich, nur gibt es nicht ab einer bestimmten Stelle immer Null.
Also etwa so:
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\0}=\bruch{?}{0!}=\bruch{1}{1}=1$ [/mm] per Definition
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\1}=\bruch{\bruch{3}{2}}{1!}=\bruch{\bruch{3}{2}}{1}=\bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\2}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}}{2!}=\bruch{3}{8}$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\3}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*(\bruch{-1}{2})}{3!}=..$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\4}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*(\bruch{-1}{2})*(\bruch{-3}{2})}{4!}=..$
[/mm]
Und jetzt kein Aha! mehr:
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\5}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*(\bruch{-1}{2})*(\bruch{-3}{2})*(\bruch{-5}{2})}{5!}=..$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\6}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*(\bruch{-1}{2})*(\bruch{-3}{2})*(\bruch{-5}{2})*(\bruch{-7}{2})}{6!}=..$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{3}{2}\\7}=\bruch{\bruch{3}{2}*\bruch{1}{2}*(\bruch{-1}{2})*(\bruch{-3}{2})*(\bruch{-5}{2})*(\bruch{-7}{2})*(\bruch{-9}{2})}{7!}=..$
[/mm]
... und so weiter, ad infinitum.
Ist es nun etwas klarer geworden?
Anmerkung:
Man kann also definieren (mit der entsprechenden Überprüfung, natürlich):
[mm] $(x+y)^\alpha=\summe_{k=0}^\infty \vektor{\alpha\\k}*x^{\alpha-k}*y^k$
[/mm]
Für natürliche [mm] $\alpha$ [/mm] stimmt das offensichtlich mit der Definition
[mm] $(x+y)^n=\summe_{k=0}^n \vektor{n\\k}*x^{n-k}*y^k$
[/mm]
überein, weil ja, wie du oben gesehen hast, die meisten Summanden Null sind.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Also, erstmal danke für diese Spitzenantwort. Nachdem ich diese ausführliche ( ) Antwort gelesen habe, war mit sofort fast alles klar und ich konnte ohne Probleme meine Aufgabe lösen.
Vielen, vielen Dank.
Ich hätte nur noch eine kleine Verständnisfrage:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie stehen diese beiden Zeilen im Zusammenhang? Irgendwie kann ich [mm] a_{k} [/mm] nicht recht wiedererkennen in der oberen Reihe.
Wäre wiederrum für eine einfache und verständliche Antwort dankbar, vielleicht mit nem Beispiel?
Grüße,
Maik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
Viel einfacher ...
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\red{\vektor{\bruch{3}{2} \\ k}}*z^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\red{a_k}*z^k$ [/mm] mit [mm] $a_k [/mm] \ := \ [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{3}{2}*\left(\bruch{3}{2}-1\right)*...*\left(\bruch{3}{2}-k+1\right)}{k!}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 29.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Loddar.
Das ist mir auch gerade in den Sinn gekommen.
Dann habe ich deine Antwort gelesen und schon wurde alles bestätigt. Danke!!!
Ich muss sagen, dass das wirklich ein kleiner Crashkurs in Sachen Reihen, v.a. binomischer Reihen war. Ich bin nach dieser Nacht, diesem Morgen und Mittag wirklich gebildeter als vorher
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