bla < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:41 Do 13.05.2004 | | Autor: | Timo |
bla
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo,
willkommen im MatheRaum!
> kann mir mal einer erklären, was eigentlich die geometriche
> bedeutung der 2.ableitung ist?
Die zweite Ableitung einer Funktion gibt deren Krümmung an; es gilt:
[mm] $f''(x_0)>0\ [/mm] \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] f [mm] \mbox{ linksgekrümmt an der Stelle } x_0$
[/mm]
[mm] $f''(x_0)<0\ [/mm] \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] f [mm] \mbox{ rechtsgekrümmt an der Stelle } x_0$
[/mm]
Warum das so ist, steht ein bisschen schon in diesem Beitrag; wenn du mehr Fragen dazu hast, stelle sie hier einfach.
Wie eine Links- bzw. Rechtskrümmung aussieht, stellst du dir am besten so vor: Du durchläufst den Graph der Funktion von links nach rechts; machst du eine Linkskurve haben wir eine Linkskrümmung.
An einem Krümmungswechel (=Wendepunkt) herrscht notwendigerweise keine Krümmung (dort geht man für einen Moment geradeaus), also $f''(x)=0$ (daher die notwendige Bedingung für Wendepunkte).
> und zwar würde ich gerne wissen, wie die zunahme oder
> abnahme der fläche von f mit f'' zusammenhängt
Mit diesen Voraussetzungen gibt es kaum einen Zusammenhang, jedenfalls sehe ich ihn nicht. Meinst du vielleicht F'', also die Stammfunktion von f?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:25 Do 13.05.2004 | | Autor: | majorlee |
äh, ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, du hast da einen fehler gemacht, marc, denn was du geschrieben hast bezieht sich doch auf die dritte ableitung, oder?
d. h. es gilt (wohlgemerkt f drei-strich!):
[mm] f'''(x_0)>0\ \ \Rightarrow\ f \mbox{ linksgekrümmt an der Stelle } x_0 [/mm]
[mm] f'''(x_0)<0\ \ \Rightarrow\ f \mbox{ rechtsgekrümmt an der Stelle } x_0 [/mm]
die 2. ableitung zeigt, ob an der stelle tatsächlich ein extrempunkt vorliegt, sofern die notwendige bedingung erfüllt ist. es gilt:
notwendige bedingung für die existenz eines extremums:
[mm] f'(x_E)=0 [/mm]
wenn du die nullstellen der ersten ableitung hast, dann hast du schon mal die stellen, die es sein könnten, es aber nicht unbedingt sein müssen. und hier kommt die hinreichende bedingung ins spiel:
hinreichende bedingung für die existenz eines extremums:
[mm] f'(x_E)=0 \wedge f''(x_E) \ne 0 \left\{\begin{matrix} <0 \Rightarrow Hochpunkt \\ >0 \Rightarrow Tiefpunkt \end{matrix}\right. [/mm]
das bedeutet also, dass, wenn die 2. ableitung an der stelle negativ ist, ein hochpunkt vorliegt und umgekehrt...
den zusammenhang mit der fläche sehe ich auch nicht so richtig. =)
übrigens: ist auch die zweite ableitung an der stelle gleich 0 und die dritte jedoch ungleich null (also [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] und [mm] $f''(x_E)=0$, [/mm] aber [mm] $f'''(x_E) \ne [/mm] 0$), dann handelt es sich um einen sattelpunkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo majorlee,
> äh, ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich glaube, du hast
> da einen fehler gemacht, marc, denn was du geschrieben hast
> bezieht sich doch auf die dritte ableitung, oder?
Nein, da habe ich schon die zweite Ableitung gemeint.
> d. h. es gilt (wohlgemerkt f drei-strich!):
> [mm]f'''(x_0)>0\ \ \Rightarrow\ f \mbox{ linksgekrümmt an der Stelle } x_0[/mm]
>
> [mm]f'''(x_0)<0\ \ \Rightarrow\ f \mbox{ rechtsgekrümmt an der Stelle } x_0[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
Gegenbeispiel:
[mm] $f(x)=\wurzel{x}$
[/mm]
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{2}*x^{-\bruch{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=-\bruch{1}{4}*x^{-\bruch{3}{2}}$
[/mm]
[mm] $f'''(x)=\bruch{1}{8}*x^{-\bruch{5}{2}}$
[/mm]
Nun ist $f'''(1)>0$ (es ist sogar $f'''(x)>0$ für $x>0$), aber [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] ist rechtsgekrümmt.
Jetzt könntest du sagen: Es ist genau umgekehrt, aber da ist ein Gegenbeispiel [mm] $f(x)=x^4$.
[/mm]
Warum tatsächlich die zweite Ableitung die Krümmung angibt, habe ich in diesem Artikel erklärt.
> übrigens: ist auch die zweite ableitung an der stelle
> gleich 0 und die dritte jedoch ungleich null (also
> [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] und [mm] $f''(x_E)=0$, [/mm] aber [mm] $f'''(x_E) \ne [/mm] 0$), dann
> handelt es sich um einen sattelpunkt.
Nicht nur dann, auch bei [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] und [mm] $f''(x_E)=0$ [/mm] und [mm] $f'''(x_E)=0$ [/mm] kann es einen Sattelpunkt geben, Beispiel: [mm] $f(x)=x^5$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 16.05.2004 | | Autor: | majorlee |
hi,
ok, stimmt, ich hätte sagen müssen, dass ich ganzrationale funktionen meine... =) oder stimmt das etwa auch nicht? dann hab ichs in der schule falsch gelernt, aber ich hab auch noch mal nachgeguckt, wir haben es auf jeden fall mit der dritten ableitung erklärt...
ist ja auch egal =)
mfg
Elia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 16.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo majorlee,
> ok, stimmt, ich hätte sagen müssen, dass ich ganzrationale
> funktionen meine... =) oder stimmt das etwa auch nicht?
Nein, auch da nicht 
Beispiel: [mm] $f(x)=x^4+3x^3$
[/mm]
[mm] $f'(x)=4x^3+9x^2$
[/mm]
[mm] $f''(x)=12x^2+18x$
[/mm]
$f'''(x)=24x+18$
Es ist nun [mm] $f''(-\bruch{1}{2})=\bruch{12}{4}-\bruch{18}{2}=3-9=-6<0$
[/mm]
und
[mm] $f'''(-\bruch{1}{2})=-\bruch{24}{2}+18=-12+18=+6>0$
[/mm]
aber $f$ ist an der Stelle [mm] $x_0=-\bruch{1}{2}$ [/mm] rechtsgekrümmt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> dann hab ichs in der schule falsch gelernt, aber ich hab
> auch noch mal nachgeguckt, wir haben es auf jeden fall mit
> der dritten ableitung erklärt...
Vielleicht hast du dich ja beim Abschreiben (von der Tafel) vertan?
> ist ja auch egal =)
Naja, ist schon interessant und auch wichtig, schließlich begründet sich darauf ja das Verständnis des Wendepunkts.
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
