borel-messbar,lebesgue-maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mi 04.05.2011 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Sei [mm] D\subseteq \IR^{2} [/mm] das abgeschlossene Dreieck mit den Ecken (0,0),(1,0) und (1,1).Zeige,dass D Borel-messbar ist und bestimme das Lebesgue-Maß (äußeres Maß zum elementargeometrischen Inhalt) [mm] \lambda^{2}(D) [/mm] von D. |
hallo,
ich hab schon rausgesucht,was in meinem skript dazu steht und hab folgendes gefunden:
Sei f : X [mm] \to \overline{\IR} [/mm] := [mm] \IR \cup {+\infty} \cup {-\infty}, [/mm] dann heißt f Borel-messbar,falls die Menge [mm] X(f>a):={x\inX : f(x)>a} [/mm] = [mm] f^{-1}((a,\infty]) [/mm] für jedes a [mm] \in \IR [/mm] messbar ist.
aber ich weiß nicht wirklich,wie ich das auf die aufgabe anwenden kann.
kann mir da jemand helfen!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subseteq \IR^{2}[/mm] das abgeschlossene Dreieck mit den
> Ecken (0,0),(1,0) und (1,1).Zeige,dass D Borel-messbar ist
> und bestimme das Lebesgue-Maß (äußeres Maß zum
> elementargeometrischen Inhalt) [mm]\lambda^{2}(D)[/mm] von D.
> hallo,
> ich hab schon rausgesucht,was in meinem skript dazu steht
> und hab folgendes gefunden:
>
> Sei f : X [mm]\to \overline{\IR}[/mm] := [mm]\IR \cup {+\infty} \cup {-\infty},[/mm]
> dann heißt f Borel-messbar,falls die Menge [mm]X(f>a):={x\inX : f(x)>a}[/mm]
> = [mm]f^{-1}((a,\infty])[/mm] für jedes a [mm]\in \IR[/mm] messbar ist.
>
> aber ich weiß nicht wirklich,wie ich das auf die aufgabe
> anwenden kann.
Gar nicht. Du sollst zeigen, dass D Borel-messbar ist, also zur Borelschen [mm] \sigma- [/mm] Algebra gehört. Diese wird erzeugt von den offenen Teilmengen des [mm] \IR^2. [/mm] Eine Eigenschaft einer [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist:
mit jeder Menge in ihr, gehört auch das Komplement der Menge zur [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
D ist abgeschlossen ist also das blablablubber einer blubberblabla Menge.
blablablubber steht für was ? Und für was steht blubberblabla ?
Um das Lebesgue-Maß von D kümmern wir uns später.
FRED
> kann mir da jemand helfen!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 04.05.2011 | | Autor: | simplify |
Also offene mengen sind borelmengen und damit borel messbar.
eine eigenschaft ist das auch das komplement enthalten ist.
D ist abgeschlossen und ist somit das komplement eine offenen menge.
D ist also auch borel-menge und somit borel-messbar.
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also offene mengen sind borelmengen und damit borel
> messbar.
> eine eigenschaft ist das auch das komplement enthalten
> ist.
> D ist abgeschlossen und ist somit das komplement eine
> offenen menge.
> D ist also auch borel-menge und somit borel-messbar.
> richtig?
Ja
FRED
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