cauchy-integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 05.11.2008 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe 1 | Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes und der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
[mm] \integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz}, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] (t) = 2+exp(it) |
| Aufgabe 2 | Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes und der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
[mm] \integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz}, [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] (t) = 1+1,5 [mm] \cdot [/mm] exp(it) |
hi! ich habe eigentlich das prinzip der cauchy-integralformel verstanden;
komme aber hier nicht klar. Mein Problem liegt darin, dass 0 bei Aufgabe1 als Polstelle nicht in der Kreisscheibe um 2 mit Radius 1 drin liegt. Bei der 2. Aufgabe wäre zwar 0 in der Kreisscheibe drin, aber die weiteren Polstellen, die der 2. Teil des Nenners liefert, sind auch in der vollen Kreisscheibe drin, sodass die Kreisscheibe nicht komplett in D liegt, sodass ich den Cauchy-Integralformel eigentlich gar nicht anwenden dürfte, oder?
Wäre schön, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Die Aufgaben sind übrigens aus dem Freitag/Busam - Funktionentheorie Buch s.93 und die Lösungen sind Aufg.1: 0; Aufg. 2: ipi/wurzel(2)
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Sa 08.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes und
> der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
> [mm]\integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz},[/mm]
> wobei [mm]\alpha[/mm] (t) = 2+exp(it)
> Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes und
> der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
> [mm]\integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz},[/mm]
> wobei [mm]\alpha[/mm] (t) = 1+1,5 [mm]\cdot[/mm] exp(it)
> hi! ich habe eigentlich das prinzip der
> cauchy-integralformel verstanden;
> komme aber hier nicht klar. Mein Problem liegt darin, dass
> 0 bei Aufgabe1 als Polstelle nicht in der Kreisscheibe um 2
> mit Radius 1 drin liegt.
Ja. Also ist der Integrand im Innern der genannten Kreisscheibe holomorph und daher das Integral 0.
> Bei der 2. Aufgabe wäre zwar 0 in
> der Kreisscheibe drin, aber die weiteren Polstellen, die
> der 2. Teil des Nenners liefert, sind auch in der vollen
> Kreisscheibe drin, sodass die Kreisscheibe nicht komplett
> in D liegt, sodass ich den Cauchy-Integralformel eigentlich
> gar nicht anwenden dürfte, oder?
Das habe ich nicht verstanden. Was meinst du mit D, was mit der "vollen Kreisscheibe"?
Welche der Polstellen liegen im Inneren der durch den Integrationsweg begrenzten Kreisscheibe?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Sa 08.11.2008 | | Autor: | didi1985 |
> Hallo!
>
> > Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes und
> > der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
> >
> [mm]\integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz},[/mm]
> > wobei [mm]\alpha[/mm] (t) = 2+exp(it)
> > Man berechne mit Hilfe des CAUCHY'schen Integralsatzes
> und
> > der CAUCH'schen Integralformel folgendes Integral:
> >
> [mm]\integral_{\alpha}^{}{\bruch{z^{7}+1}{z^{2}\cdot(z^{4}+1)} dz},[/mm]
> > wobei [mm]\alpha[/mm] (t) = 1+1,5 [mm]\cdot[/mm] exp(it)
> > hi! ich habe eigentlich das prinzip der
> > cauchy-integralformel verstanden;
> > komme aber hier nicht klar. Mein Problem liegt darin, dass
> > 0 bei Aufgabe1 als Polstelle nicht in der Kreisscheibe um 2
> > mit Radius 1 drin liegt.
>
> Ja. Also ist der Integrand im Innern der genannten
> Kreisscheibe holomorph und daher das Integral 0.
>
> > Bei der 2. Aufgabe wäre zwar 0 in
> > der Kreisscheibe drin, aber die weiteren Polstellen, die
> > der 2. Teil des Nenners liefert, sind auch in der vollen
> > Kreisscheibe drin, sodass die Kreisscheibe nicht komplett
> > in D liegt, sodass ich den Cauchy-Integralformel eigentlich
> > gar nicht anwenden dürfte, oder?
>
> Das habe ich nicht verstanden. Was meinst du mit D, was mit
> der "vollen Kreisscheibe"?
>
> Welche der Polstellen liegen im Inneren der durch den
> Integrationsweg begrenzten Kreisscheibe?
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Hi - danke für die Antwort. Dass das erste Integral 0 ist, ist mir klar. Die Frage hierzu wäre, wie/ ob (unabhängig davon, ob es sinnvoll oder zu aufwendig wäre) man das mit der Cauchy-Integralformel belegen könnte. Da wäre mir folgendes jetzt eingefallen: wenn man g(z)= f(z)(z-2) definiert und die Cauchyformel auf g(2)=0 anwendet, wären ja alle Bedingungene erfüllt (g analytisch in voller abgeschlossener Kreisscheibe, 2 im Innern des Kreise). Dann würde das Integral zwangsweise 0 sein. Richtig?
Zum zweiten: Es gibt ja bei f insgesamt 5 Polstellen: 3 liegen in der vollen Kreisscheibe, damit meine ich im Innern oder auf der Kurve. Die besagten inneren Punkte: 0; [mm] exp({\pi}i/4) [/mm] und [mm] exp(-{\pi}i/4). [/mm] Mit D meinte ich den Def.bereich einer analytischen Funktion, auf die ich die Cauchy-Formel anwende. Problem: Wenn ich beispielsweise g(z)= f(z) mal [mm] z^2 [/mm] wähle, darf ich die Formel gar nicht anwenden, da die volle Kreisscheibe zwei Punkte hat, die nicht im Defr.bereich liegen [mm] (exp({\pi}i/4) [/mm] und [mm] exp(-{\pi}i/4)). [/mm] Oder muss man da eine Partialbruchzerlegung machen, die hier seht aufwednig wäre...
Gruß
|
|
|
|
