cauchy folge ohne grenzwert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Sa 20.10.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
wenn wir zB die folge nehmen (schreibe jetzt die bildungsvorschrift nicht hin) die gegen [mm] \sqrt2 [/mm] konvergiert, dann ist diese folge eine cauchyfolge jedoch hat sie keinen rationalen grenzwert. Wie kann man sich denn sowas vorstellen? in jedem noch so kleinen intervall liegen fast alle folgenglieder, dann muss man doch eine zahl angeben können, wenn man mit dem intervall immer und immer kleiner wird. "verschieben" können sich die folgenglieder sich doch nicht wirklich, weil das sonst alles nicht passen würde.
Wäre echt super, wenn mir einer von euch weiterhelfen könnte :)
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
vorstellen ist hier nicht so einfach.
Betrachte die Definition eines Grenzwerts einer Folge f:
g ist Grenzwert von f, wenn es zu jedem (noch so kleinen) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein Folgeglied gibt, ab dem ALLE weiteren Folgeglieder um weniger als [mm] $\epsilon$ [/mm] von g entfernt liegen.
Nun probier es aus:
Nimm eine Folge, die gegen [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] konvergiert und versuche eine rationale Zahl für g anzugeben.
Du wirst dann zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, das kleiner ist als die Differenz von g und [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ein Startglied finden, ab dem alle weiteren Folgeglieder weiter als [mm] $\epsilon$ [/mm] von g entfernt liegen.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 20.10.2007 | | Autor: | AriR |
kann man dann sagen, dass folgende aussagen für eine menge M äquivalent sind:
1) jede cauchy folge konvergiert in M
2) die grenzwerte alle folgen mit gliedern aus M sind wieder in M
??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
> kann man dann sagen, dass folgende aussagen für eine menge
> M äquivalent sind:
>
> 1) jede cauchy folge konvergiert in M
> 2) die grenzwerte aller KONVERGENTEN folgen mit gliedern aus M sind
> wieder in M
ja, denn jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 20.10.2007 | | Autor: | AriR |
ahh danke.. so kann ich mir das wohl etwas besser vorstellen denke ich :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 22.10.2007 | | Autor: | AriR |
eine frage vllt noch :)
wenn man eine menge hat in der jede folge konvergiert und deren grenzwert in dieser menge liegen, dann konvergiert doch auch jede cauchyfolge in dieser menge oder?
oder anders vllt wenn man ne menge in der es folgen gibt die konvergieren, aber die grenzwerte nicht in der menge sind, dann konvergieren auch nicht alle cauchyfolgen dieser menge oder?
gruß :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 22.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> wenn man eine menge hat in der jede folge konvergiert
huch... eine Menge, in der jede Folge konvergiert?
Sobald eine Menge mindestens 2 Elemente enthält, die einen positiven Abstand haben (wir brauchen ja mindestens eine Distanzfunktion auf der Menge, um überhaupt Konvergenz untersuchen zu können) kannst du immer eine Folge konstruieren, die nicht konvergiert, nämlich einfach die zwischen diesen beiden Elementen alternierende Folge.
> deren grenzwert in dieser menge liegen, dann konvergiert
> doch auch jede cauchyfolge in dieser menge oder?
da jede Cauchy-Folge auch eine Folge ist, wäre diese Aussage unvermeidlich wahr.
> oder anders vllt wenn man ne menge in der es folgen gibt
> die konvergieren, aber die grenzwerte nicht in der menge
> sind, dann konvergieren auch nicht alle cauchyfolgen dieser
> menge oder?
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge (in jedem metrischen Raum),
aber nicht jede Cauchy-Folge konvergiert in jedem metrischen Raum.
Das heißt: Metrische Räume, in denen jede Cauchy-Folge konvergiert, sind besondes ausgezeichnet:
Man nennt sie "vollständige metrische Räume"
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 22.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich meinte jetzt nicht eine folge in der JEDE folge wirklich konvergiert sonder meinte eine allgemien menge und mich jetzt aus der menge alle folgen in diesem raum nur auf die beschränkt, die konvergieren... vllt wir das dann etwas klarer :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mo 22.10.2007 | | Autor: | koepper |
> ich meinte jetzt nicht eine folge in der JEDE folge
> wirklich konvergiert sonder meinte eine allgemien menge und
> mich jetzt aus der menge alle folgen in diesem raum nur auf
> die beschränkt, die konvergieren... vllt wir das dann etwas
> klarer :)
Tut mir leid, Ari.
Ich kann diese Frage leider überhaupt nicht verstehen und ich bin recht sicher,
daß das allen anderen, die sie lesen auch so ergehen wird.
Deshalb schlage ich vor, du schläfst erst mal ne Nacht drüber.
Morgen ist sicher alles klarer.
Gute N8
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Wort "Konvergenz" kannst du doch nur definieren, wenn du nen GRenzwert hast!
in der Menge der rationalen Zahlen gibt es konvergente Folgen, deren GW sind dann rational. in [mm] \IQ [/mm] gibt es Cauchyfolgen die nicht konvergieren,
Wenn du nen vollständigen Raum hast, dann konvergieren alle Cauchyfolgen. aber das ist einfach die Def. von konvergent.
selbst in [mm] \IN [/mm] kannst du beliebig viele "konvergente" Folgen definieren, 1,2,3,3,3...,3 usw.
Irgendwie musst du klarer ausdrücken, was du eigentlich willst. und dir vorallem klar machen, dass das Wort Konvergenz nicht definiert werden kann, ohne einen GW zu haben. (du musst ihn nicht kennen, aber seine Existenz vorraussetzen.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Di 23.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich versuchs mal allgemeiner zu formulieren :D
also bei wiki steht ja, dass ein vollständiger raum (in dem jede cauchy folge konvergiert) ein raum ohne "lücken" ist und ich hab mir jetzt versucht diese lücken vorzustellen und irgendwie dachte ich mir, dass diese lücken möglicherweise grenzwerte irgendwelcher folgen in diesem raum die zwar konvergieren, deren grenzwert aber nicht mehr in diesem raum liegt.
Bsp: die folge die gegen [mm] \sqrt2 [/mm] konvergiert, konvergiert ja gegen eine Zahl, nämlich [mm] \sqrt2 [/mm] aber wenn man sich auf [mm] \IQ [/mm] beschränkt, ist diese zahl nicht mehr im raum und somit eine sogennante "lücke"
versteht ihr jetzt ca was ich meine?
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> ich versuchs mal allgemeiner zu formulieren :D
>
> also bei wiki steht ja, dass ein vollständiger raum (in dem
> jede cauchy folge konvergiert) ein raum ohne "lücken" ist
> und ich hab mir jetzt versucht diese lücken vorzustellen
> und irgendwie dachte ich mir, dass diese lücken
> möglicherweise grenzwerte irgendwelcher folgen in diesem
> raum die zwar konvergieren, deren grenzwert aber nicht mehr
> in diesem raum liegt.
> Bsp: die folge die gegen [mm]\sqrt2[/mm] konvergiert, konvergiert ja
> gegen eine Zahl, nämlich [mm]\sqrt2[/mm] aber wenn man sich auf [mm]\IQ[/mm]
> beschränkt, ist diese zahl nicht mehr im raum und somit
> eine sogennante "lücke"
>
> versteht ihr jetzt ca was ich meine?
Hallo,
ich müßte lügen, würde ich behaupten, daß ich nicht "ca." verstehe, was Du meinst...
Vorstellen kannst Du Dir, was Du möchtest, solange es Dir nützlich ist und nicht zu falschen Schlüssen führt.
Du bist aber durch die Wahl Deiner Worte gerade dabei, Dir selbst Steine in den Weg zu legen und Dich zu verwirren.
> und irgendwie dachte ich mir, dass diese lücken
> möglicherweise grenzwerte irgendwelcher folgen in diesem
> raum die zwar konvergieren, deren grenzwert aber nicht mehr
> in diesem raum liegt.
Ich kann nur wiederholen, was Vorredner bereits gesagt haben:
Wenn Folgen in einem Raum konvergieren, haben sie einen Grenzwert in diesem Raum. Konvergenz und Grenzwert sind untrennbar verbunden.
Was es gibt: Cauchyfolgen, die nicht konvergieren. Solche findest Du z.B. in [mm] \IQ.
[/mm]
In [mm] \IR [/mm] findest Du solche nicht. Denn [mm] \IR [/mm] ist vollständig. Hier konvergiert jede Cauchyfolge.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:17 Di 23.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen AriR,
jetzt verstehe ich deine Gedanken ganz gut.
> also bei wiki steht ja, dass ein vollständiger raum (in dem
> jede cauchy folge konvergiert) ein raum ohne "lücken" ist
> und ich hab mir jetzt versucht diese lücken vorzustellen
> und irgendwie dachte ich mir, dass diese lücken
> möglicherweise grenzwerte irgendwelcher folgen in diesem
> raum die zwar
in einem erweiterten Raum (dem "vervollständigten Raum")
> konvergieren
würden
> deren grenzwert aber nicht mehr
> in diesem raum liegt.
> Bsp: die folge die gegen [mm]\sqrt2[/mm] konvergiert, konvergiert ja
> gegen eine Zahl, nämlich [mm]\sqrt2[/mm] aber wenn man sich auf [mm]\IQ[/mm]
> beschränkt, ist diese zahl nicht mehr im raum und somit
> eine sogennante "lücke"
>
> versteht ihr jetzt ca was ich meine?
absolut!
Und wenn man sich jetzt eben nicht mehr auf den ursprünglichen Raum beschränken will, sondern ihn vervollständigt,
d.h. so ergänzt, daß nun alle Cauchy-Folgen auch (in dem neuen Raum) konvergieren. Dann erhält man einen vollständigen metrischen Raum.
Genau das ist der Weg, wie man von [mm] $\IQ$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] gelangt.
[mm] $\IR$ [/mm] entsteht durch Vervollständigung von [mm] $\IQ$.
[/mm]
Ausgeschlafen denkt es sich besser, nicht? 
Liebe Grüße
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Ari
> ich versuchs mal allgemeiner zu formulieren :D
>
> also bei wiki steht ja, dass ein vollständiger raum (in dem
> jede cauchy folge konvergiert) ein raum ohne "lücken" ist
> und ich hab mir jetzt versucht diese lücken vorzustellen
> und irgendwie dachte ich mir, dass diese lücken
> möglicherweise grenzwerte irgendwelcher folgen in diesem
> raum die zwar konvergieren, deren grenzwert aber nicht mehr
> in diesem raum liegt.
Genau das ist dein Fehler. Die Folge, in [mm] \IQ [/mm] die in [mm] \IR [/mm] gegen [mm] \wurzel{2} [/mm] konvergiert, konvergiert in [mm] \IQ [/mm] eben eifach nicht!
versuch mal das hinzuschreiben, was du "Konvergenz" nennst. du wirdt sehen, in [mm] \IQ [/mm] kannst du das nicht! alle Versuche werden dich nur zu einer Cauchyfolge führen, nicht zu einer"konvergenten" Folge. [mm] \wurzel{2} [/mm] ist nicht "eine Zahl" sondern eine reelle Zahl, also keine Zahl in [mm] \IQ.
[/mm]
Du hast dich so an die reellen Zahlen gewöhnt, dass du sie als "die" Zahlen verstehst, dabei kennst du keine einzige wirklich, nur Beschreibungen wie für [mm] \pi [/mm] etwa Verhältnis zw. Umfang und Durchmesser eines Kreises, für [mm] \wurzel{2} [/mm] Lösung von [mm] x^2=2 [/mm] usw. und dann kennst du rationale Zahlen, die das bis auf einen vorgegebenen Fehler angeben .
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 23.10.2007 | | Autor: | AriR |
vielen dank mal wieder für die vielen hilfen.
kann man denn diese "fehlenden" elemente irgendwie klassifizieren, wenn man einen allgemeinen raum zugrunde liegen hat der nicht vollständig ist? man kann ja nicht jede einzelne cauchy folge überprüfen und ihren "grenzwert" dem raum hinzufügen.
irgendeine eigenschaft muss diesen "lücken" bzw "fehlenden punkten" doch gemeinsam sein oder irgendwie sowas +g+
hoffe habe mich nicht wieder zu lasch ausgedrückt :)
gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, man ergänzt ihn, indem man sagt, jede Cauchyfolge konvergiert. so z.Bsp "macht" man die reelen Zahlen axiomatisch.!
Dann muss man natürlich noch en paar Beweise anhängen, um mit diesen neuen Objekten auch rechnen zu können : Was ist die Summe, das Produkt usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 23.10.2007 | | Autor: | AriR |
ja stimmt das vollständigkeitsaxiom ist das. welche konkreten sätze meinst du denn jetzt zB? kann man mit den reellen zahlen nicht genau so rechnen wie mit den rationalen oder was genau meinst du?
ich hoffe ich geh euch nicht langsam auf die nerven mit den ganzen fragen :)
vieeeeeeeeelen dank nochmal und gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du manipulierst sind doch nie -oder fast nie- reelle Zahlen, sondern immer nur rationale, sowohl dein Taschenrechner, wie dein CComputer kennt gar keine reellen Zahlen. woher weisst du dass [mm] 2*\wurzel{2} [/mm] wo ja [mm] \wurzel{2} [/mm] nur als GW definiert ist dasselbe ist wie der GW von der Folge, die geegen [mm] \wurzel{8} [/mm] konvergiert?
Du musst erstmal erklären, was die Addition von was ist, was man nur über ne Definition kennt! und dann willst du , dass diese "Regeln auch für rationale Zahlen gelten, die ja reelle Zahlen sind. usw. usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 25.10.2007 | | Autor: | AriR |
ich glaub so langsam hab ich es..
dann mal vielen dank an euch alle, für die vielen hilfen :)
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