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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - char. Polynom und Eigenwerte
char. Polynom und Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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char. Polynom und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mi 07.07.2004
Autor: Leibniz

Hallo!

Eine nette Aufgabe beschäftigt mich mal wieder ausgiebig. Vielleicht kann mir ja jemand helfen meine Nerven zu entlasten?! :-)

Für a,b [mm] \in \IR [/mm] sollen wir das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der Matrix A =  [mm] \pmat{ b & a & a& ...... & a \\ a & b & a & ...... & a \\ a & a & b & ...... & a \\ ....&....&....&......&.... \\a & a& a & ...... & b } [/mm]
bestimmen.

Das charakteristische Polynom erhalte ich ja mit  det (A - [mm] \lambda [/mm] E ) = 0

Die Umformungen liefern:

[mm] \pmat{ b - \lambda & a & a& ...... & a \\ a & b- \lambda & a & ...... & a \\ a & a & b - \lambda & ...... & a \\ ....&....&....&......&.... \\ a & a& a & ...... & b - \lambda } [/mm]

[mm] \pmat{ b - \lambda - a & 0 & 0& ...... & a -b - \lambda \\ 0 & b- \lambda -a & 0 & ...... & a -b - \lambda \\ 0 & 0 & b - \lambda -a & ...... & a - b - \lambda \\ ....&....&....&......&.... \\ a & a& a & ...... & b - \lambda } [/mm]


[mm] \pmat{ (b - \lambda - a) a & 0 & 0& ...... & 0 \\ 0 & (b - \lambda - a) a& 0 & ...... & 0\\ 0 & 0 & (b - \lambda - a) a& ...... & 0\\ ....&....&....&......&.... \\ a & a& a & ...... & b - \lambda + (n-1) a } [/mm]


[mm] \pmat{ (b - \lambda - a) a & 0 & 0& ...... & 0 \\ 0 & (b - \lambda - a) a& 0 & ...... & 0\\ 0 & 0 & (b - \lambda - a) a& ...... & 0\\ ....&....&....&......&.... \\ 0& 0& 0 & ...... & (b-a) (b - \lambda + (n-1) a) } [/mm]

Also erhalte ich det A = (b - a - [mm] \lambda )^{n-1} [/mm] (b - [mm] \lambda [/mm] + (n - 1) a) = 0

Für die Eigenwerte muß ich jetzt doch noch die Nullstellen finden. Wie soll das denn gehen?
Kann dieses Monster doch nicht per Polynomdivision klein bekommen, oder?!

Bedanke mich im voraus für Lösungsvorschläge und -hilfen. Vielen Dank

von Leibnix

        
Bezug
char. Polynom und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mi 07.07.2004
Autor: choosy

[mm] (b-a-\lambda)^{n-1}(b [/mm] - [mm] \lambda [/mm] + (n - 1) a)

Dieses Polynom ist doch bereits in Linearfaktoren zerlegt:
[mm] \lambda [/mm] = b-a ist n-1 fach nullstelle und
[mm] \lambda [/mm] = b-(n-1)a ist weitere Nullstelle

und ähh fehlt bei dem Polynom nich ein mal [mm] a^{n-1} [/mm] *(b-a)?
jedenfalls wenn deine letzte matrix stimmt.
macht aber nix bei der nullstellenberechnung.



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