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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 09.04.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute bei der herleitung des char.polynoms geht man ja ca folgendermaßen vor. sei K ein körper
sei A eine K^(n,m) matrix und x ein element [mm] K^m, \lambda\in [/mm] K
dann sucht man nach den x die folgende gleichung erfüllen:
(1) [mm] Ax=\lambda [/mm] x
(2) [mm] Ax-\lambda [/mm] x=0
(3) [mm] (A-\lambda*E_n)x=0
[/mm]
dann sieht man das, [mm] det(A-\lambda*E_n) [/mm] 0 ergeben muss, damit mehr als x=0 in frage kommt etc.
meine frage ist aber eine andere. in welcher algebraischen struktur bewegt man sich bei der umformung der zeilen (1),(2),(3)??
also wie man von 1 nach 2 kommt ist ja noch klar, aber von 2 auf 3 verstehe ich nicht ganz. ich teile ja beim "rausziehen des x"(bzw der umgekehrung des distr.gesetzes) lambda*x durch x und das einselement ist [mm] E_n. [/mm] zu welcher struktur aber gehört dieses einselement?
und wenn in zeile 3 anstatt
[mm] (A-\lambda*E_n)x=0 [/mm] stehen würde [mm] x(A-\lambda*E_n)=0
[/mm]
dann würde [mm] x(A-\lambda*E_n) [/mm] nicht einmal definiert sein, also gelten nichteinmal beide distrubutiv gesetze.
weiß einer von euch welche strukur das ist bzw was mir erlaubt hier so rumrechnen zu dürfen?
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Hallo,
du rechnest mit Objekten aus verschiedenen algebraischen Strukturen:
[mm] A, E_{n} [/mm] sind quadratische Matrizen, die eine Gruppe bilden (nichtkommutativ).
[mm]x, 0 [/mm] sind Vektoren, sprich: Elemente eines K-Vektorraums.
[mm]\lambda[/mm] ist ein Element eines Körpers.
Innerhalb der Strukturen werden die benötigten Rechenoperationen definiert, z.B. die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Körperelement ergibt wiederum einen Vektor. Ebenso wird die Multiplikation einer Matrix (Gruppenelement) mit einem Vektor definiert. Wenn du so willst, ergeben all diese Operationen wieder Vektoren, somit bewegst du dich eigentlich im Vektorraum.
Kurz noch ein Hinweis zum Distributivgesetz: die Multiplikation eines Elements aus der Gruppe der nxn-Matrizen (du schreibst mxn, aber bei nicht-quadratischen Matrizen macht die Fragestellung keinen Sinn wegen der Dimensionsproblematik) mit einem Vektor wird auf die dir bekannte Art festgelegt. Dies legt aber auch die Reihenfolge fest, du darfst nicht einfach vertauschen, weil diese Multiplikation eine andere Bedeutung hätte. Es gilt so etwas wie:
[mm] (A*x)^{T} = x^{T} * A^{T} [/mm], wenn es um quadratische Matrizen geht. Das ist aber wirklich nicht so spannend...
Im dritten Schritt (beim Ausklammern) muss man noch Sorge tragen, dass die Addition möglich ist, das ist eigentlich die Addition in der Gruppe der Matrizen.
Wenn du die Additionen und Multiplikationen der unterschiedlichen Strukturen (Körper - VR - Gruppe) einfach mal so aufschreibst, dass du sie unterscheiden kannst, wird dir bestimmt viel klarer, was passiert und wo du dich gerade bewegst.
Ich hoffe, es hilft ein bisschen weiter...
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 09.04.2009 | | Autor: | AriR |
das hilft auf jeden schonmal weiter.
also ich verstehe schon was [mm] \lambda*x [/mm] ist..
das ist die skalare mult. im [mm] k^N, [/mm] mit [mm] x\in K^n [/mm] und [mm] \lambda\in [/mm] K
was aber ist A*x. du sagstest ja man fasst A als element der gruppe der nxn matritzen auf. aber welche struktur basiert auf einer gruppe ? K-VR zum beispiel basieren ja auf körper was ja etwas konkreteres ist als eine gruppe
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Eine Gruppe ist die einfachste mathematische Struktur, d.h. eine Menge mit einer Operation (i.d.R. Addition oder Multiplikation), die nur wenigen Bedingungen genügen muss (abgeschlossen, assoziativ, neutrales und inverses Element). Wenn man noch eine weitere Operation dazu nimmt und weitere Bedingungen erhält man irgendwann einen Körper.
Eine Matrix hat nun noch die Besonderheit, dass die Einträge der Matrix ja auch noch irgendwoher kommen müssen, in deinem Fall eben aus dem Körper K. Die Schreibweise [mm] A * x [/mm] ist also letztlich eine genau spezifizierte Multiplikation von Körperelementen mit dem Vektor.
Man kann das auch anders interpretieren: A kann auch als Abbildung interpretiert werden, d.h. A ist eine Abbildung des Vektorraums in sich selbst und wird entsprechend definiert. Und eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich selbst kann auch als Matrix aufgeschrieben werden.
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