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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 30.01.2011 | | Autor: | hamma |
hallo, ich habe eine charakteristische gleichung augestellt und möchte jetzt die nullstellen herausfinden. ich weiß das die nullstellen komplexe zahlen sind. Wie bekomme ich jetzt diese nullstellen heraus? ich habe noch nicht gerechnet wie man auf komplexe nullstellen kommt.
meine charakteristische gleichung lautet:
[mm] p^4-4p^3+8p^2-8p+4=0
[/mm]
gruß hamma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
[mm] p^4-4p^3+8p^2-8p+4=(p^2-2p+2)^2
[/mm]
Kannst du die komplexen Nullstellen eines quadratischen Polynoms berechnen?
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 30.01.2011 | | Autor: | hamma |
danke für die antwort, wie hast du die gleichung berechnet das man von
[mm] p^4-4p^3+8p^2-8p+4
[/mm]
auf
[mm] (p^2-2p+2)^2 [/mm] kommt. kann man das quadrat [mm] ()^2 [/mm] bei der nullstellenberechnung außer acht lassen und warum?
die nullstellen konnte ich dann berechnen und zwar habe ich folgendes raus:
1+j und 1-j
wäre mein ergebnis so richtig?
gruß hamma
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Hallo hamma,
> danke für die antwort, wie hast du die gleichung berechnet
> das man von
> [mm]p^4-4p^3+8p^2-8p+4[/mm]
> auf
> [mm](p^2-2p+2)^2[/mm] kommt. kann man das quadrat [mm]()^2[/mm] bei der
Substituiere doch mal [mm]p=q-\bruch{-4}{4}=q+1[/mm]
> nullstellenberechnung außer acht lassen und warum?
Weil die Nullstellen durch den Exponenten 2
die Vielfachheit 2 besitzen.
>
> die nullstellen konnte ich dann berechnen und zwar habe ich
> folgendes raus:
>
> 1+j und 1-j
>
> wäre mein ergebnis so richtig?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> gruß hamma
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 30.01.2011 | | Autor: | hamma |
ich hätte dann eine doppelte nullstelle [mm] 1\pm1j [/mm] wegen der vielfachheit, stimmts?
was ich noch nicht so verstehe warum man substituieren soll um auf
[mm] (p^2-2p+2)^2 [/mm] zu kommen.
gruß hamma
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Hallo hamma,
> ich hätte dann eine doppelte nullstelle [mm]1\pm1j[/mm] wegen der
> vielfachheit, stimmts?
Richtig.
>
> was ich noch nicht so verstehe warum man substituieren soll
> um auf
> [mm](p^2-2p+2)^2[/mm] zu kommen.
Mit Hilfe der Substitution siehst Du das besser,
daß es sich um ein quadriertes Polynom 2. Grades handelt.
>
> gruß hamma
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 So 30.01.2011 | | Autor: | hamma |
gibt es auch eine andere möglichkeit auf die einfachere gleichung zu kommen?
gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 30.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo hamma,
auf die Gefahr hin, dass dich die Antwort nicht zufriedenstellt:
Ich habe [mm] p^4-4p^3+8p^2-8p+4=(p^2-2p+2)^2 [/mm] mehr oder weniger geraten. Meine Vermutung, dass sich das Polynom faktorisieren lässt, kam aber nicht von irgendwo her. Die Koeffizienten sind z. B. alle durch 2 teilbar. Das deutete schon sehr auf etwas in der Art von [mm] (x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 [/mm] hin.
Ein allgemeiner Trick um (reelle) Nullstellen zu raten, ist die Teiler der Absolutglieds darauf zu überprüfen. Hat man so eine Nullstelle [mm] x_0 [/mm] gefunden, so kann man z. B. mit Polynomdivision durch [mm] (x-x_0) [/mm] einen Faktor abtrennen. Warum funktioniert das? Nach der Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist das Absolutglied das Produkt aller Nullstellen und das Polynom ist unter Hinzunahme aller komplexen Nullstellen vollständig faktorisierbar.
Gruß, pyw
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mo 31.01.2011 | | Autor: | hamma |
ok, vielen dank für deine antwort pyw (: .
gruß hamma
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