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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 13.01.2005 | | Autor: | SERIF |
hallo zusammen. ich ahbe hier eine aufgabe. ich habe fast alles gerechnet. wollte mal wissen ob das richtig ist. danke für die kontrolle und am ende habe ich eine kleine frage??
[mm] \pmat{ 0 & -6 & 2 \\ 1 & 7 & -2\\ 2 & 6 & 0 }
[/mm]
a) Man berechne das charakteristische Polynom, bestimme dessen Nullstellen und deren Vielfachen.
b)Man berechne die Eigenräume zu den eigenwerten in K.
c) Sofern die möglich ist, finde man eine Matrix C [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] und eine Diagonalmatrix D [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] mit [mm] C^{-1}AC [/mm] = D.
Ich habe so angefangen::::::::::::::::::
[mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] det(I_{3} [/mm] - A)
[mm] \pmat{ \lambda & 6 & -2 \\ -1 & \lambda -7 & 2 \\ -2 & -6 & - \lambda}
[/mm]
dann habe ich die determinante mit sarrus methode gefunden. Habe raus
[mm] \lambda^{3}-7\lambda^{2}+14\lambda-8
[/mm]
ist das richtig?
dann ahbe ich die Nullstellen gefunden. mit Hornerschema.
1.Nullstelle = 1
2.Nullstelle = 2
3.Nullstelle = 2
4.Nullstelle = (-2) richtig oder ?
was ist mit Vielfachheiten in a) gemeint?
für b) sind die ja die Nullstellen die eigenwerte. und was sind denn eigenräume?? und für c) brauche ich tips? Danke
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> hallo zusammen. ich ahbe hier eine aufgabe. ich habe fast
> alles gerechnet. wollte mal wissen ob das richtig ist.
> danke für die kontrolle und am ende habe ich eine kleine
> frage??
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> [mm]\pmat{ 0 & -6 & 2 \\ 1 & 7 & -2\\ 2 & 6 & 0 }
[/mm]
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> a) Man berechne das charakteristische Polynom, bestimme
> dessen Nullstellen und deren Vielfachen.
>
> b)Man berechne die Eigenräume zu den eigenwerten in K.
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> c) Sofern die möglich ist, finde man eine Matrix C [mm]\in GL_{n}(K)[/mm]
> und eine Diagonalmatrix D [mm]\in GL_{n}(K)[/mm] mit [mm]C^{-1}AC[/mm] =
> D.
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> Ich habe so angefangen::::::::::::::::::
> [mm]p(\lambda)[/mm] = [mm]det(I_{3}[/mm] - A)
>
> [mm]\pmat{ \lambda & 6 & -2 \\ -1 & \lambda -7 & 2 \\ -2 & -6 & - \lambda}
[/mm]
>
> dann habe ich die determinante mit sarrus methode gefunden.
> Habe raus
>
> [mm]\lambda^{3}-7\lambda^{2}+14\lambda-8
[/mm]
> ist das richtig?
Also ich kenne die Formel zur Berechnung des charakteristischen Polynoms nur so: [mm] p(\lambda)=det(A-\lambda{E})
[/mm]
Als Polynom ergäbe sich dann
[mm] -\lambda^{3}+7\lambda^{2}-14\lambda+8
[/mm]
also im Prinzip dasselbe wie du hast, obwohl deine Matrix auch mit deiner Methode falsch ist, da müßte sie heißen:
[mm] \pmat{ \lambda & 6 & -2 \\ -1 & \lambda -7 & 2 \\ -2 & -6 & +\lambda}, [/mm] hast du Glück gehabt *g*
> dann ahbe ich die Nullstellen gefunden. mit Hornerschema.
>
> 1.Nullstelle = 1
> 2.Nullstelle = 2
> 3.Nullstelle = 2
> 4.Nullstelle = (-2) richtig oder ?
Also ein Polynom dritten Grades kann nur 3 Nullstellen haben!
[mm] \lambda_1=1 [/mm] ist eine Nullstelle, und nach Polynomdivision erhalte ich [mm] -\lambda^2+6\lambda-8=0, [/mm] und daraus erhalte ich die beiden anderen Nullstellen [mm] \lambda_2=2 [/mm] und [mm] \lambda_3=4
[/mm]
> was ist mit Vielfachheiten in a) gemeint?
Man unterscheidet algebraische und geometrische Vielfachheiten!
Aus den Nullstellen kann man die algebraische Vielfachheit ablesen, undzwar besagt diese, wie oft eine Nullstelle vorkommt! Bei uns haben also alle Nullstellen die algebraische Vielfachheit 1!
Beim Polynom [mm] (\lambda-2)^2 [/mm] hat die Nullstelle 2 die Vielfachheit 2!
Bei [mm] (\lambda-2)^3 [/mm] hat sie entsprechend die Vielfachheit 3....
> für b) sind die ja die Nullstellen die eigenwerte. und
> was sind denn eigenräume??
Also bei mir im Skript sind sie wie folgt definiert:
Für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A ist die Menge [mm] U_{\lambda}:=\{v\in\IK:Av=\lambda{v}\}=Menge [/mm] der Lösungen von [mm] (A-\lambda{E})v=0
[/mm]
Ein Eigenraum umfaßt also sämtliche Eigenvektoren, die man zu einem Eigenwert finden kann!
(Die Menge dieser Vektoren bezeichnet man dann übrigens als geometrische Vielfachheit)
> und für c) brauche ich tips?
Du hast in der Vorlesung doch sicher Kriterien zur Diagonalisierung gehört!
Eins davon lautet:
Hat eine nxn-Matrix n verschiedene Eigenwerte, so ist diese Diagonalisierbar!
Ist hier bei uns also der Fall!
C erhälst du aus den Eigenvektoren. Diese bilden die Spalten von C.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Mo 17.01.2005 | | Autor: | SERIF |
hallo zusammen. ich ahbe hier eine aufgabe. ich habe fast alles gerechnet. wollte mal wissen ob das richtig ist. danke für die kontrolle und am ende habe ich eine kleine frage??
[mm] \pmat{ 0 & -6 & 2 \\ 1 & 7 & -2\\ 2 & 6 & 0 }
[/mm]
a) Man berechne das charakteristische Polynom, bestimme dessen Nullstellen und deren Vielfachen.
b)Man berechne die Eigenräume zu den eigenwerten in K.
c) Sofern die möglich ist, finde man eine Matrix C [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] und eine Diagonalmatrix D [mm] \in GL_{n}(K) [/mm] mit [mm] C^{-1}AC [/mm] = D.
Ich habe so angefangen::::::::::::::::::
[mm] p(\lambda) [/mm] = [mm] det(I_{3} [/mm] - A)
[mm] \pmat{ \lambda & 6 & -2 \\ -1 & \lambda -7 & 2 \\ -2 & -6 & - \lambda}
[/mm]
dann habe ich die determinante mit sarrus methode gefunden. Habe raus
[mm] \lambda^{3}-7\lambda^{2}+14\lambda-8
[/mm]
ist das richtig?
dann ahbe ich die Nullstellen gefunden. mit Hornerschema.
1.Nullstelle = 1
2.Nullstelle = 2
3.Nullstelle = 2
4.Nullstelle = (-2) richtig oder ?
was ist mit Vielfachheiten in a) gemeint?
für b) sind die ja die Nullstellen die eigenwerte. und was sind denn eigenräume?? und für c) brauche ich tips? Danke
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