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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 20.09.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Ich habe ein Verständnisproblem bei der Vorbereitung zum chinesischen Restsatz. Hier der Zusammenhang:
Sei A ein Ring, [mm] I_1, [/mm] ..., [mm] I_n [/mm] Ideale von A und [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n \in [/mm] A. Betrachte das System
x [mm] \equiv a_1 [/mm] (mod [mm] I_1), [/mm] ..., x [mm] \equiv a_n [/mm] (mod [mm] I_n)
[/mm]
dh. gesucht ist x [mm] \in [/mm] A mit x [mm] \in a_i [/mm] + [mm] I_i [/mm] für i = 1,...,n.
Soweit ok. Jetzt kommt ein Satz, den ich nicht verstehe:
"Die Frage nach der Lösbarkeit des Systems ist die Frage nach dem Bild
von
[mm] \varphi: [/mm] A [mm] \to (A/I_1) [/mm] x ... x (A / [mm] I_n), [/mm]
a [mm] \mapsto [/mm] (a + [mm] I_1, [/mm] ..., a + [mm] I_n)
[/mm]
"
Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
Ich bin nur soweit gekommen: x [mm] \in ker(\varphi), [/mm] falls x [mm] \in I_i [/mm] für i=1,...,n
Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.
LG moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Sa 20.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo moerni,
> Hallo,
>
> Ich habe ein Verständnisproblem bei der Vorbereitung zum
> chinesischen Restsatz. Hier der Zusammenhang:
>
> Sei A ein Ring, [mm]I_1,[/mm] ..., [mm]I_n[/mm] Ideale von A und [mm]a_1,[/mm] ...,
> [mm]a_n \in[/mm] A. Betrachte das System
> x [mm]\equiv a_1[/mm] (mod [mm]I_1),[/mm] ..., x [mm]\equiv a_n[/mm] (mod [mm]I_n)[/mm]
> dh. gesucht ist x [mm]\in[/mm] A mit x [mm]\in a_i[/mm] + [mm]I_i[/mm] für i =
> 1,...,n.
>
> Soweit ok. Jetzt kommt ein Satz, den ich nicht verstehe:
> "Die Frage nach der Lösbarkeit des Systems ist die Frage
> nach dem Bild
> von
> [mm]\varphi:[/mm] A [mm]\to (A/I_1)[/mm] x ... x (A / [mm]I_n),[/mm]
> a [mm]\mapsto[/mm] (a + [mm]I_1,[/mm] ..., a + [mm]I_n)[/mm]
> "
>
> Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
> Ich bin nur soweit gekommen: x [mm]\in ker(\varphi),[/mm] falls x
> [mm]\in I_i[/mm] für i=1,...,n
ich müßte mich da jetzt auch in diese allgemeine Situation reindenken, ob
das, was Du da am Ende schreibst, passt.
Aber ist nicht eigentlich die Logik hier so:
Die Frage
"Gibt es ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x [mm] \equiv a_1 (\mod I_1), [/mm] ..., x [mm] \equiv a_n (\mod I_n)$?"
[/mm]
nichts anderes als die Frage nach der Surjektivität von [mm] $\varphi$?
[/mm]
Ich vergleiche das mal mit folgendem:
Es sei $(X, [mm] \cdot)$ [/mm] eine Gruppe und [mm] $a_0 \in [/mm] X$ fest. Betrachte
[mm] $\phi \colon [/mm] X [mm] \ni [/mm] x [mm] \mapsto a_0 [/mm] *x [mm] \in Z\,.$
[/mm]
(Dabei sollte hier $Z [mm] \subseteqq [/mm] X$ vorher fest gewählt werden.)
Wir stellen uns die Frage: Gibt es für jedes $y [mm] \in [/mm] Z$ ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit
[mm] $y=a_0*x\,$?
[/mm]
Bzw.: Gibt es für jedes $y [mm] \in [/mm] Z$ ein $x [mm] \in [/mm] X$ mit
[mm] $y=\phi(x)\,$?
[/mm]
Das ist ja nichts anderes als die Frage:
Gilt [mm] $\phi(X)=Z$?
[/mm]
Also ist das nichts anderes als die Frage, ob [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist.
Und entsprechend sehe ich das bei Deiner Aufgabe, nur, dass die Zielmenge
dort "besser getrennt von der Definitionsmenge" betrachtet werden kann.
P.S. Ein besseres Beispiel:
Für $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] betrachte
[mm] $f_A \colon \IR^n \ni [/mm] x [mm] \mapsto f_A(x):=A \cdot [/mm] x [mm] \in \IR^m\,.$
[/mm]
Die Frage, ob es für jedes $y [mm] \in \IR^m$ [/mm] ein $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit
[mm] $y=f_A(x)\,$
[/mm]
gibt, ist nichts anderes als eine Umformulierung der Frage, ob [mm] $f_A$ [/mm]
surjektiv ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 20.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich habe ein Verständnisproblem bei der Vorbereitung zum
> chinesischen Restsatz. Hier der Zusammenhang:
>
> Sei A ein Ring, [mm]I_1,[/mm] ..., [mm]I_n[/mm] Ideale von A und [mm]a_1,[/mm] ...,
> [mm]a_n \in[/mm] A. Betrachte das System
> x [mm]\equiv a_1[/mm] (mod [mm]I_1),[/mm] ..., x [mm]\equiv a_n[/mm] (mod [mm]I_n)[/mm]
> dh. gesucht ist x [mm]\in[/mm] A mit x [mm]\in a_i[/mm] + [mm]I_i[/mm] für i =
> 1,...,n.
>
> Soweit ok. Jetzt kommt ein Satz, den ich nicht verstehe:
> "Die Frage nach der Lösbarkeit des Systems ist die Frage
> nach dem Bild
> von
> [mm]\varphi:[/mm] A [mm]\to (A/I_1)[/mm] x ... x (A / [mm]I_n),[/mm]
> a [mm]\mapsto[/mm] (a + [mm]I_1,[/mm] ..., a + [mm]I_n)[/mm]
> "
vielleicht nur, um das von mir Gesagte besser zu demonstrieren:
Sei
$y [mm] \in (A+I_1,...,A+I_n)\,.$
[/mm]
Dann gibt es
[mm] $a_1,...,a_n \in [/mm] A$
mit
[mm] $y=(a_1+I_1,...,a_n+I_n)\,.$
[/mm]
Und jetzt ist die Frage zu klären, ob
[mm] $y=(a_1+I_1,...,a_n+I_n) \in \varphi(A)$
[/mm]
gilt.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
Kann es sein, dass du eine Voraussetzung vergessen hast? Der chinesische Restsatz besagt, dass für Ideale $ I, [mm] J\trianglelefteq [/mm] A $ eines kommutativen Ringes, mit [mm] $\red [/mm] {I+J=A}$ der kanonische Homomorphismus $ [mm] A\longrightarrow A/I\times [/mm] A/J $ surjektiv ist, und dass dessen Kern durch $ [mm] I\cap J=I\cdot [/mm] J $ gegeben ist. Man erhält also einen Isomorphismus $ [mm] A/(I\cap J)\cong A/I\times [/mm] A/J$. Per Induktion folgt die Aussage für endlich viele (mindestens eines, da ist die Aussage jedoch trivial) paarweise teilerfremde Ideale.
Oder ging es bei euch darum, die Lösbarkeit für beliebige Ideale zu untersuchen, und festzustellen, dass nur dann alle solche Kongruenzen lösbar sind, wenn die Ideale paarweise teilerfremd sind? Das verändert natürlich die Antwort. Die Berechnung des Kerns verändert sich hingegen nicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Im übrigen bin ich der Meinung, dass das Thema ins Algebra-Forum gehört.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Im übrigen bin ich der Meinung, dass das Thema ins
> Algebra-Forum gehört.
jein: Es gibt auch algebraische Zahlentheorie. Wir sollten vielleicht auch
mal die Zahlentheorie weiter untergliedern (Elementare Zahlentheorie,
algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie, ...).
Gruß,
Marcel
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Eine solche Untergliederung habe ich auch schonmal im Mitgliederforum vorgeschlagen. Leider habe ich nicht viel Resonanz erhalten.
Dieses Resultat ist nichtsdestotrotz ein ganz klassisches Ergebnis der (kommutativen) Algebra. Mit elemntarer Zahlentheorie (Studium von Primzahlen, Teilbarkeit, etc.) könnte ich mich eventuell anfreunden, wenn es hier um den oft betrachteten Spezialfall $ [mm] A=\IZ [/mm] $ und $ I, J $ Hauptideale mit teilerfremden Erzeugern ginge. Algebraische Zahlentheorie hingegen beschäftigt sich mit algebraischen Zahlkörpern und ist ein Gebiet, dass bereits sehr stark auf homologischer Algebra, algebraischer Geometrie, kommutativer Algebra, etc. aufbaut, und diesem Gebiet ist der chin. Restsatz keinesfalls zuzuordnen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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