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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - cos(1/z)
cos(1/z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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cos(1/z): Singularität,Bestimmung,
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Sa 12.06.2010
Autor: Balendilin

Aufgabe
Hat [mm] f(z)=\cos(\frac{1}{z}) [/mm] eine wesentliche oder eine hebbare Singularität?

Ich habe als erstes die Laurent-Entwicklung von [mm] \cos(\frac{1}{z}) [/mm] angeschaut und habe bekommen (mit der Taylor-Entwicklung vom cos):

[mm] \sum_{n=-\infty}^0(-1)^n\frac{1}{(-2n)!}z^{2n} [/mm]

diese Reihe hat einen unendlich großen Hauptteil und damit hat  [mm] f(z)=\cos(\frac{1}{z}) [/mm] eine wesentliche Singularität.


ANDERERSEITS ist aber  [mm] |f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1 [/mm] , also f(z) in einer Umgebung beschränkt. Und somit hätte ich eine hebbare Singularität.


Aber beides geht nicht. Was ist also richtig?

        
Bezug
cos(1/z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Sa 12.06.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Balendilin,

> Hat [mm]f(z)=\cos(\frac{1}{z})[/mm] eine wesentliche oder eine
> hebbare Singularität?
>  Ich habe als erstes die Laurent-Entwicklung von
> [mm]\cos(\frac{1}{z})[/mm] angeschaut und habe bekommen (mit der
> Taylor-Entwicklung vom cos):
>  
> [mm]\sum_{n=-\infty}^0(-1)^n\frac{1}{(-2n)!}z^{2n}[/mm]
>  
> diese Reihe hat einen unendlich großen Hauptteil und damit
> hat  [mm]f(z)=\cos(\frac{1}{z})[/mm] eine wesentliche
> Singularität. [ok]

Jo!

>  
>
> ANDERERSEITS ist aber  [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]

Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den komplexen, der ist unbeschränkt! ..

> , also f(z) in einer Umgebung beschränkt.

Nein

> Und somit hätte ich eine hebbare Singularität.

Auch nein

>  
>
> Aber beides geht nicht. Was ist also richtig?

Ersteres!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
cos(1/z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Sa 12.06.2010
Autor: Balendilin


> > ANDERERSEITS ist aber  [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]
>
> Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den
> komplexen, der ist unbeschränkt! ..

Wieso ist der komplexe Cosinus denn unbeschränkt?

Ich rate:

Ich kann den Cosinus schreiben als:

[mm] \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} [/mm]

für [mm] z\rightarrow\infty [/mm] geht [mm] |e^{iz}|\rightarrow\infty [/mm] und [mm] |e^{-iz}|\rightarrow [/mm] 0
Deswegen ist der komplexe Cosinus unbeschränkt.

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
cos(1/z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Sa 12.06.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> > > ANDERERSEITS ist aber  [mm]|f(z)|=|\cos(\frac{1}{z})|\le1[/mm]
> >
> > Das gilt für den reellen Kosinus, aber nicht für den
> > komplexen, der ist unbeschränkt! ..
>  
> Wieso ist der komplexe Cosinus denn unbeschränkt?
>  
> Ich rate:
>  
> Ich kann den Cosinus schreiben als:
>  
> [mm]\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}[/mm]
>  
> für [mm]z\rightarrow\infty[/mm] geht [mm]|e^{iz}|\rightarrow\infty[/mm] und
> [mm]|e^{-iz}|\rightarrow[/mm] 0

Wieso denn das?  Das gilt nicht mal für reelle Werte für z. Diese Grenzwerte existieren nicht, denn die e-Funktion hat bei [mm] $z=\infty$ [/mm] eine wesentliche Singularität.

Warum rechnest du nicht einfach Real- und Imaginärteil aus, z.B.

[mm] e^{ iz} = e^{ i(x+iy)} = e^{- y} e^{ ix} [/mm]

und daher

[mm] |e^{iz}| = e^{-y} [/mm] .

Also ist [mm] $e^{iz}$ [/mm] in der unteren Halbebene, [mm] $e^{-iz}$ [/mm] in der oberen Halbebene unbeschränkt.

Oder auch:

[mm] \cos z = \cos (x+iy) = \cos x \cos (iy) - \sin x \sin(iy) = \cos x \cosh y + i\sinx \sinh y [/mm]

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
        
Bezug
cos(1/z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:45 Mo 14.06.2010
Autor: fred97

Zur Ergänzung:

Sei f eine ganze Funktion und

                 $g(z):= f(1/z)$    für z [mm] \ne [/mm] 0.

Dann hat f die Potenzreihenentwicklung  $f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm]  für z [mm] \in \IC. [/mm]

Damit hat g die Laurententwicklung um 0:

               $g(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n*\bruch{1}{z^n}$ [/mm]

Jetzt sieht man:

    g hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm] \gdw [/mm] f ist kein Polynom

FRED

Bezug
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