cosinus durch betrag cosinus < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 22.04.2009 | | Autor: | MichaFCC |
| Aufgabe | integrieren si die folgemnde funktion:
[mm] f(x)=\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}[/mm]
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substitution is klar, t=sinx, somit kommt man auf:
[mm] \bruch{(sint)^2*cost}{\left| cost \right|} [/mm] dt
aber wie gehts jetzt weiter, lässt sich der betrag iwie integrieren oder durch eine andere formel ausdrücken?
das selbe problem tritt bei der nächsten integration im übrigen auch auf, deswegen wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke im vorraus für hinweise (keine komplette lösung bitte, möchte nur den nächsten schritt haben, was rauskommen soll weiß ich bereits)
mfg michafcc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> integrieren si die folgemnde funktion:
> [mm]f(x)=\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}[/mm]
>
> substitution is klar, t=sinx,
klar würde ich nicht sagen, aber naheliegend und zielführend scheint sie zu sein.  (Edit: Bzw. das gilt für die von Al korrigierte Substitution [mm] $x=\sin(t)\,.$)
[/mm]
> somit kommt man auf:
>
> [mm]\bruch{(sint)^2*cost}{\left| cost \right|}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dt
>
> aber wie gehts jetzt weiter, lässt sich der betrag iwie
> integrieren oder durch eine andere formel ausdrücken?
> das selbe problem tritt bei der nächsten integration im
> übrigen auch auf, deswegen wäre ich sehr dankbar, wenn mir
> jemand helfen könnte...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> danke im vorraus für hinweise (keine komplette lösung
> bitte, möchte nur den nächsten schritt haben, was
> rauskommen soll weiß ich bereits)
Es gilt
$$(\star)\;\;\;\frac{y}{|y|}=\text{sign}(y)=\begin{cases} 1, \text{ falls }y > 0,\\-1, \text{ falls }y < 0\end{cases}\,,$$
also auch
$$\frac{\cos(t)}{|\cos(t)|}=\text{sign}(\cos(t))\,.$$
Und bei der Substitution $\sin(t)=x$ in dem Term $\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}$ sollte man wegen des Nenners vll. $t \notin \pi *\IZ$ fordern.
P.S.:
(1) Falls Dir $(\star)$ nicht klar ist, dann beachte:
$$|y|=\begin{cases} y, \text{ falls }y > 0,\\ -y,\text{ falls }y < 0 \end{cases}\,.$$
Das liefert Dir sofort $(\star)\,.$
(2) Übrigens wäre auch der Ansatz
$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\;dx=\int \underbrace{x^2}_{=u(x)}*\underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}_{=v'(x)}\;dx$$
einer Verfolgung wert gewesen. Danach sollte man dann analog nochmal partiell integrieren. Stammfunktionen von $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ und $x \mapsto \arcsin(x)$ findet man ![[]](/images/popup.gif) hier: Tabelle über Stammfunktionen bei Wiki.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 22.04.2009 | | Autor: | MichaFCC |
das habe ich mir so auch schon notiert (habe mir cosinus und betrag vom cosinus aufgezeichnet...
aber heißt das jetzt, dass ich2 stammfunktionen heraus bekomme?
falls ja kann ich diese dann letztendlich wieder verknüpfen? oder kann ich das signum an sich iwie aufleiten?
danke im vorraus für antworten
mfg michafcc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Micha,
> das habe ich mir so auch schon notiert (habe mir cosinus
> und betrag vom cosinus aufgezeichnet...
> aber heißt das jetzt, dass ich2 stammfunktionen heraus
> bekomme?
> falls ja kann ich diese dann letztendlich wieder
> verknüpfen? oder kann ich das signum an sich iwie
> aufleiten?
benutze bitte nicht dieses Wort, vgl. Wiki.
Wenn [mm] $\cos(x_0)/|\cos(x_0)|=1$ [/mm] ist, dann gilt auch [mm] $\cos(x)/|\cos(x)|=1$ [/mm] schon in einer Umgebung von [mm] $x_0\,$ [/mm] (analoges für [mm] $\cos(x_0)/|\cos(x_0)|=-1$). [/mm]
Ich würde mir da erstmal nicht so viele technische Gedanken machen, sondern einfach erstmal eine Stammfunktion für $t [mm] \mapsto \sin^2(t)$ [/mm] berechnen (oder für $t [mm] \mapsto -\sin^2(t)\,,$ [/mm] aber da gibt's ja bis auf den konstanten Faktor [mm] $-1\,$ [/mm] keinen Unterschied).
Dann kannst Du Dir hinterher immer noch durch differenzieren einer so gebildeten Stammfunktion überlegen, ob bzw. wie man damit auch eine Stammfunktion für $x [mm] \mapsto \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm] erhält.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > integrieren si die folgemnde funktion:
> > [mm]f(x)=\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}[/mm]
> >
> > substitution is klar, t=sinx,
>
> klar würde ich nicht sagen, aber naheliegend und
> zielführend scheint sie zu sein.
Hallo ihr beiden:
keineswegs klar, und wohl ziemlich vom Ziel
wegführend:
Es sollte doch wohl heissen x=sin(t) und nicht t=sin(x) !
Gruß Al-Chw.
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