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Ich hab mal eine Frage bezüglich einer Ableitung. Unzwar wenn ich den eindimensionalen D'Alembert-Operator unter der Galileitransformation steht ja da für die Zeitableitung: (v sei eine Geschwindigkeit, aber das tut ja nichts zur Sache):
a) [mm] \frac{\partial^{2}\Phi(x-vt,t)}{\partial t^{2}}
[/mm]
bzw. b) [mm] \frac{\partial^{2}\Phi(x-vt,t)}{\partial x^{2}}
[/mm]
Wie kann ich dann die Ableitungen berechnen?
mfg piccolo
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Hallo,
> Ich hab mal eine Frage bezüglich einer Ableitung. Unzwar
> wenn ich den eindimensionalen D'Alembert-Operator unter der
> Galileitransformation steht ja da für die Zeitableitung:
> (v sei eine Geschwindigkeit, aber das tut ja nichts zur
> Sache):
>
> a) [mm]\frac{\partial^{2}\Phi(x-vt,t)}{\partial t^{2}}[/mm]
>
> bzw. b) [mm]\frac{\partial^{2}\Phi(x-vt,t)}{\partial x^{2}}[/mm]
>
> Wie kann ich dann die Ableitungen berechnen?
>
> mfg piccolo
ich verstehe den zusammenhang nicht, aber vielleicht kann ich trotzdem helfen. wenn du eine funktion [mm] $\Phi(x,t)$ [/mm] mit partiellen ableitungen [mm] $\partial_x \Phi$ [/mm] und [mm] $\partial_t \Phi$ [/mm] hast, dann kannst du solche ableitungen wie
[mm]\partial_t \Phi(x-vt,t)[/mm]
durch anwendung der mehrdimensionalen kettenregel berechnen. du hast dann
[mm]\partial_t \Phi(x-vt,t) = -v \partial_x \Phi(x-vt,t) +\partial_t \Phi(x-vt,t)[/mm]
Analog kannst du auch weiterableiten.
gruss
Matthias
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> [mm]\partial_t \Phi(x-vt,t) = -v \partial_x \Phi(x-vt,t) +\partial_t \Phi(x-vt,t)[/mm]
>
wenn ich das so machen kann, dann muss ich ja nochmal partiell nach t ableiten. Ist dann richtig?:
[mm] \partial_t^{2} \Phi(x-vt,t)=-v*(-v*\partial_x^{2} \Phi(x-vt,t) +\partial_x\partial_t\Phi(x-vt,t) )+\partial_t^{2} \Phi(x-vt,t)
[/mm]
ist das so richtig?
mfg piccolo
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Hallo piccolo1986,
> > [mm]\partial_t \Phi(x-vt,t) = -v \partial_x \Phi(x-vt,t) +\partial_t \Phi(x-vt,t)[/mm]
>
Gemeint ist hier die partielle Ableitung der Funktion
[mm]\Phi\left( \ u\left(x,t\right), \ t \ \right)[/mm]
mit [mm]u\left(x,t\right)=x-v*t[/mm]
nach der Zeit.
Weiterhin wird dann noch folgende Definition getroffen:
[mm]\alpha\left(x,t\right):=\Phi\left( \ u\left(x,t\right), \ t \ \right)[/mm]
Dies ist dann
[mm]\partial_t \alpha(x,t) =-v \partial_u \Phi( \ u(x,t), \ t \ ) +\partial_t \Phi( \ u(x,t), \ t \)[/mm]
> >
> wenn ich das so machen kann, dann muss ich ja nochmal
> partiell nach t ableiten. Ist dann richtig?:
>
> [mm]\partial_t^{2} \Phi(x-vt,t)=-v*(-v*\partial_x^{2} \Phi(x-vt,t) +\partial_x\partial_t\Phi(x-vt,t) )+\partial_t^{2} \Phi(x-vt,t)[/mm]
>
> ist das so richtig?
Im Prinzip ja.
Die partielle Ableitung nach x kollidiert hier
mit dem ersten Argument von [mm]\Phi[/mm].
Mit den obigen Vereinbarungen lautet dann diese:
[mm]\partial_t^{2} \alpha(x,t)=-v*(-v*\partial_u^{2} \Phi( \ u(x,t), \ t \ ) +\partial_u\partial_t\Phi( \ u(x,t) \ ,t \ ) )+\partial_t^{2} \Phi(\ u(x,t) ,\ t \ )[/mm]
>
> mfg piccolo
Gruss
MathePower
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ok gut, dann ist das soweit klar. für die Ableitung nach x kann ich ja nichts weiter machen oder??
danke nochmals
mfg piccolo
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Hallo piccolo1986,
> ok gut, dann ist das soweit klar. für die Ableitung nach x
> kann ich ja nichts weiter machen oder??
Nun, hier wendest Du auch die Kettenregel an.
>
>
> danke nochmals
>
> mfg piccolo
Gruss
MathePower
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ok, aber die innere ableitung nach x ist ja einfach 1, bzw. 0, also steht dann da doch:
[mm] \partial_{x}\Phi(x-vt,t)=1*\partial_{x}\Phi(x-vt,t)
[/mm]
?
mfg piccolo
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Hallo piccolo1986,
> ok, aber die innere ableitung nach x ist ja einfach 1, bzw.
> 0, also steht dann da doch:
>
> [mm]\partial_{x}\Phi(x-vt,t)=1*\partial_{x}\Phi(x-vt,t)[/mm]
>
> ?
Hier steht erstmal eine wahre Aussage.
Wir haben doch die Funktion
[mm]\Phi\left( \ u\left(x,t\righ), \ t\right)[/mm]
mit [mm]u\left(x,t\right)=x-v*t[/mm]
nach x zu differenzieren.
Nach der Kettenregel gilt:
[mm]\partial_{x}\Phi( \ u(x,t),t \ )=\partial_{u}\Phi( \ u(x,t),t \ )*\partial_{x}u(x,t)[/mm]
(bzw. [mm]\bruch{\partial \Phi}{\partial x}=\bruch{\partial \Phi}{\partial u}*\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm])
Da [mm]\partial_{x}u(x,t)=1[/mm] steht dann da:
[mm]\partial_{x}\Phi( \ u(x,t),t \ )=\partial_{u}\Phi( \ u(x,t),t \ )[/mm]
>
> mfg piccolo
Gruss
MathePower
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