darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 15.08.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Sei [mm] \sigma [/mm] die Spiegelung an der Ebene $E = [mm] \{ x \in \IR^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \}$ [/mm] im [mm] \IR^3
[/mm]
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis B des [mm] \IR^3 [/mm] so, daß die darstellende Matrix [mm] [\sigma]_B [/mm] Diagonalgestalt hat. |
Guten Abend. Ich habe hier die Lösung und wie immer ging mir das zu schnell
Bestimme zwei linear unabhängige Vektoren [mm] w_1,w_2 \in [/mm] E
[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\-1}, w_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\2}
[/mm]
[mm] w_3 [/mm] = [mm] w_1 \times w_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Bestimme Orthonormalbasis
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}\vektor{1\\0\\-1}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] ' = [mm] \vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{3}}\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] v_3 [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
B = [mm] (v_1,v_2,v_3) [/mm] Orthonormalbasis
[mm] $[\sigma]_B [/mm] = [mm] \pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & -1}$
[/mm]
Wie kommt man auf [mm] [\sigma]_B
[/mm]
Sind das nicht die Eigenwerte von der Matrix bezüglich der Basis B
Also gesucht Eigenwerte von [mm] \pmat{1 &1&1\\0&1&-2\\-1&1&1}?
[/mm]
|
|
| |
|
Grüße!
Nun ja, gesucht ist ja eine Orthonormalbasis $B$, so dass die darstellende Matrix von [mm] $\sigma$ [/mm] Diagonalgestalt hat, mit anderen Worten eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren zu [mm] $\sigma$.
[/mm]
Da [mm] $\sigma$ [/mm] eine Spiegelung an einer Ebene $E$ ist, ist in diesem Fall klar, was die Eigenräume sind: die Ebene $E$ wird punktweise fixiert, das heißt jeder Vektor in $E$ ist Eigenvektor zum Eigenwert 1 (er wird ja festgehalten) und die Gerade senkrecht auf $E$ wird gespiegelt, das heißt die Vektoren darauf sind Eigenvektoren zum Eigenwert -1.
Daher muss gar nicht viel gerechnet werden: Die Tatsache, dass [mm] $\sigma$ [/mm] eine solche Spiegelung ist [mm] ($\sigma$ [/mm] ist ja gar nicht als Matrix gegeben!) impliziert, dass es genügt, eine Orthonormalbasis anzugeben, bei der zwei Vektoren aus $E$ stammen und ein Vektor senkrecht auf $E$ steht.
Und genau dies wird in der Lösung konstruiert: Zunächst nimmt man sich zwei beliebige Vektoren in $E$, die linear unabhängig sind und bildet das Kreuzprodukt um einen Vektor senkrecht auf $E$ zu erzeugen. Dann ändert man die Vektoren in $E$ so ab, dass sie orthogonal zueinander stehen und schließlich werden alle Vektoren normiert.
Dass die darstellende Matrix von [mm] $\sigma$ [/mm] bzgl. $B$ dann so aussieht wie angegeben, liegt wie oben beschrieben an der Konstruktion der Basis bzw. der Definition von [mm] $\sigma$ [/mm] als Spiegelung an $E$.
Alles klar? 
Liebe Grüße,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo.
> Alles klar?
Nein leider nicht. Ich hab da bei Spiegelungen und Drehungen kein Verständnis. Wir hatten das Thema auch nur ganz kurz
Ich würde da aber schon gerne errechnen wo bei der Matrix [mm] $[\sigma]_B [/mm] = [mm] \pmat{1 & & \\ & 1 & \\ & & -1}$ [/mm] die zwei 1en und die -1 herkommt.
Ich hatte dazu die Eigenwerte dieser Matrix [mm] \pmat{1 &1&1\\0&1&-2\\-1&1&1} [/mm] berechnet. Das Polynom dafür is aber [mm] (1-t)^3+(1-t)+4 [/mm]
Also +1 ist da keine Lösung. Auch die Determinante [mm] \vmat{ 1-t & 0 & 1 \\ 0 & 1-t & -2 \\ -1 & 2 &1-t } [/mm] bringt mich nicht weiter.
Wie kann ich das [mm] [\sigma]_B [/mm] errechnen? Weil das Prinzip des Verständnisses funktioniert bei mir nicht. Leider.
Grüße
Wehm
|
|
|
| |
|
> Wie kann ich das [mm][\sigma]_B[/mm] errechnen? Weil das Prinzip des
> Verständnisses funktioniert bei mir nicht. Leider.
Hallo,
wenn Du unbedingt willst, kannst Du das irre umständlich machen.
Du könntest für jeden der Standardvektoren ausrechnen, auf welchen Vektor bzgl der Standardbasis er abgebildet wird, diese Vektoren als Spalten in eine Matrix stecken, die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen. Du würdest feststellen, daß die Eigenvektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind, und wenn Du ein kleines Fünkelchen über Eigenvektoren bescheid weißt, weißt Du dann, daß bzgl. dieser Vektoren die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Wenn Du vor dem Rechnen ein wenig über Spiegelungen nachdenkst, kannst Du Dir ganz viel Arbeit ersparen.
Du sollst ja an einer Ebene spiegeln. Wie geht das? Wenn Du einen Punkt hast, fällst Du das Lot auf die Ebene und trägst auf der anderen Seite der Ebene den gleichen Abstand ab.
In Standardkoordinaten muß man dazu ein bißchen rechnen, aber Du darfst es Dir einfach machen. Nimm als Basis zwei unabhängige Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] in der Ebene, dazu den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Ebene, welchen Du aus der Koordinatengleichung sofort ablesen kannst.
Nun schauen wir uns an, was passiert, wenn wir z.B. [mm] \overrightarrow{0P}=1* \vec{a} [/mm] +2* [mm] \vec{b}+ [/mm] 3* [mm] \vec{n} [/mm] an der Ebene spiegeln.
Er "klappt herüber" auf die andere Seite der Ebene, geht also über in 1* [mm] \vec{a} [/mm] +2* [mm] \vec{b}+ [/mm] (-3)* [mm] \vec{n}.
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] gespiegelt verändert sich gar nicht, denn er liegt ja in der Ebene. Also ist es ein EV zum EW 1.
Ebenso [mm] \vec{b}.
[/mm]
Und der zur Ebene senkrechte Vektor [mm] \vec{n} [/mm] geht über in [mm] -\vec{n}. [/mm] Also ist es ein EV zum EW -1.
Da hast Du die schon, die Basis aus Eigenvektoren! Und bzgl. dieser ist die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix mit 1,1,-1 auf der Diagonalen.
Kurz zum Thema Drehungen: wenn Du drehst, ist die Drehachse ein Eigenvektor zum EW 1. Wenn Du eine geschickte Basis für eine Drehung im [mm] \IR^3 [/mm] suchst, nimmst Du als einen Basisvektor einen Vektor in Richtung der Drehachse, also einen EV zum EW 1.
Die beiden ergänzenden Vektoren wähle sinnigerweise in der Drehebene, also senkrecht zur Drehachse.
So kommst Du dann schnell zur gewohnten Drehmatrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
