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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:14 Di 20.01.2009 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | gegben ist V:={A [mm] \in^{2x2}| [/mm] A ist eine obere Dreiecksmatrix}
[mm] L(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 })=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] L(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] L(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 })=\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Sei L eine lineare Abbildung von L:V [mm] \to [/mm] V
a) Lesen sie von a die Eigenwerte ab.
Bestimmen sie die darstellende Martix bezüglich der Basis
[mm] B:={\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }}
[/mm]
b) bestimmen sie das charakteristische Polynom von L
c) ist L bijektiv, injektiv oder surjektiv |
a)
Eigenwerte ist leicht
zu L1 ist der Eigenwert 2
zu L2 ist der Eigenwert 0
zu L2 ist der Eigenwert -2
aber wie soll ich die darstellende Matrix rausbekommen?
ich habe nur drei Baseneinträge gegeben. aber ich brauche für meine darstellende matrix nur 3 statt 4 einträge.
aber was mache ich dann mit der 4 spalt? ist die einfach in allen einträgen null?
und wenn ja woher weiß ich dass die 4. spalte und nicht die dritte spalte nur nulleinträge hat?
zu b) habe ich nicht L schon in a ausgerechnet?
bzw. wie komme ich an L wenn ich nicht weiß wie L aussieht
c) wenn ich L habe weiß ich wie man bijektiv/injektiv und surjektiv nachweißt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 20.01.2009 | | Autor: | pelzig |
> gegben ist [mm] $V:=\{A \in R^{2x2}| \text{A ist eine obere Dreiecksmatrix}\}$
[/mm]
>
> [mm]L(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 })=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> [mm]L(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> [mm]L(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 })=\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> Sei L eine lineare Abbildung von L:V [mm]\to[/mm] V
>
> a) Lesen sie von a die Eigenwerte ab.
> Bestimmen sie die darstellende Martix bezüglich der Basis
>
> [mm]B:={\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }}[/mm]
>
> b) bestimmen sie das charakteristische Polynom von L
>
> c) ist L bijektiv, injektiv oder surjektiv
> a)
> Eigenwerte ist leicht
> zu L1 ist der Eigenwert 2
Nee, 1.
> zu L2 ist der Eigenwert 0
> zu L2 ist der Eigenwert -2
Richtig.
> aber wie soll ich die darstellende Matrix rausbekommen?
> ich habe nur drei Baseneinträge gegeben. aber ich brauche
> für meine darstellende matrix nur 3 statt 4 einträge.
Hä? V ist 3-dimensional, und diese drei matrizen sind linear unabhängig, also eine Basis.
Deine Darstellungsmatrix ist also eine 3x3-Matrix.
Berechne zunächst die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.
> zu b) habe ich nicht L schon in a ausgerechnet?
> bzw. wie komme ich an L wenn ich nicht weiß wie L aussieht
> c) wenn ich L habe weiß ich wie man bijektiv/injektiv und
> surjektiv nachweißt
L hat nicht-trivialen Kern, also.... ?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Di 20.01.2009 | | Autor: | Skalar85 |
sorry habe [mm] L(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 }) [/mm] falsch angegeben
das hieß in der aufgabenstellung
[mm] L(\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 1 })=\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] hatte das ausversehen flasch kopiert
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