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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:50 Do 10.12.2009 | | Autor: | horus00 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden zwei Basen des Vektorraumes [mm] \IR_{\le2}[x]
[/mm]
[mm] B_{1}:=\{1+x,1-x, 2x^2\}
[/mm]
[mm] B_{2}:=\{x^2+x+1,-x,2x+4\}
[/mm]
sowie die durch [mm] L_{B_{1}}:=\pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
gegebene darstellende Matrix der linearen Abbildung
L := [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] -> [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] bzgl. [mm] B_{1}.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] |
hab inzwischen eine Transformationsmatrix zum Basiswechsel von [mm] B_{1} [/mm] zu [mm] B_{2} [/mm] bestimmt.
habe Koordinaten-abbildungen [mm] K_{B_{1}} [/mm] und deren inverse Abbildung bzgl [mm] B_{1} [/mm] bestimmt und habe [mm] K_{B_{2}} [/mm] bestimmt.
außerdem habe ich die darstellende Matrix [mm] L_{B_{2}} [/mm] bzgl [mm] B_{2} [/mm] bestimmt.
nun soll ich noch [mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] bestimmen!
[mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] = [mm] ax^2+bx+c [/mm] finde ich zu trivial.
wenn ich die darst. Matrix [mm] L_{B_{1}} [/mm] benutzte komme ich auf
[mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] = -ax+4(a-b)
macht das Sinn. Kann ich die darstellende Matrix dafür überhaupt benutzen?? habe keine Ahnung
bitte um Hinweise
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> Betrachten Sie die folgenden zwei Basen des Vektorraumes
> [mm]\IR_{\le2}[x][/mm]
>
> [mm]B_{1}:=\{1+x,1-x, 2x^2\}[/mm]
> [mm]B_{2}:=\{x^2+x+1,-x,2x+4\}[/mm]
>
> sowie die durch [mm]L_{B_{1}}:=\pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
>
> gegebene darstellende Matrix der linearen Abbildung
>
> L := [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] -> [mm]\IR_{\le2}[x][/mm] bzgl. [mm]B_{1}.[/mm]
>
>
> [mm]L(ax^2+bx+c)[/mm] = [mm]ax^2+bx+c[/mm] finde ich zu trivial.
Hallo,
was meinst Du damit?
Ich find's nicht trivial, sondern grottenfalsch, denn wenn das stimmen würde, wäre L die identische Abbildung.
>
> wenn ich die darst. Matrix [mm]L_{B_{1}}[/mm] benutzte komme ich
> auf
>
> [mm]L(ax^2+bx+c)[/mm] = -ax+4(a-b)
Schade, daß Du nicht sagst, wie genau Du das bekommen hast.
Es sieht mir nicht richtig aus.
Ein Weg zur Lösung:
[mm] L(ax^2+bx+c) [/mm] kannst Du z.B. bekommen, wenn Du zunächst [mm] ax^2+bx+c [/mm] als Koordinatenvektor bzgl [mm] B_1 [/mm] schreibst und dann [mm] L_{B_1} [/mm] verwendest. Das Ergebnis ist dann wieder bzgl [mm] B_1, [/mm] den erhaltenen Koordinatenvektor kannst Du dann ja wieder umwandeln in ein Polynom.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 10.12.2009 | | Autor: | stffn |
Hi!!
Also erstmal frage ich mich wie die "darstellende Matrix" $ [mm] L_{B_{1}} [/mm] $
mit der Basis zusammenhängt, bzw. wie man den Zusammenhang erkennt.
Vielleicht würde ich dann sogar allein darauf kommen wie man die Transformationsmatri beim Basenwechsel bestimmt. Weiß leider garnicht wo ich anfangen soll.
Schöne Grüße!
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> Also erstmal frage ich mich wie die "darstellende Matrix" $ [mm] L_{B_{1}} [/mm] $
> mit der Basis zusammenhängt, bzw. wie man den Zusammenhang erkennt.
Hallo,
wir haben $ [mm] B_{1}:=\{v_1:=1+x,v_2:=1-x, v_3:=2x^2\} [/mm] $ und $ [mm] L_{B_{1}}:=\pmat{ -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $.
Die Matrix [mm] L_{B_{1}} [/mm] teilt uns mit, daß der erste Basisvektor von [mm] B_1, [/mm] also [mm] \vektor{1\\0\\0}_{(B_1)}=1*v_1+0*v_2+0*v_3=1+x [/mm] durch die durch [mm] L_{(B_1)} [/mm] dargestellte Abbildung L auf den Vektor
[mm] L(v_1)=\vektor{-\bruch{3}{2}\\-\bruch{1}{2}\\0}_{(B_1)}=-\bruch{3}{2}v_1-\bruch{1}{2}v_2= -\bruch{3}{2}(1+x)-\bruch{1}{2}(1-x)=-2-x [/mm] abgebildet wird.
Die anderen Spalten entsprechend.
Multiplizierst Du [mm] L_{B_1} [/mm] mit einem Koordinatenvektor bzgl [mm] B_1, [/mm] so erhältst Du sein Bild unter der Abbildung L in Koordinaten bzgl [mm] B_1.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Do 10.12.2009 | | Autor: | stffn |
Ok, ich habe das einfach mal so weiter gemacht und bin dann auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] L(a*x^2+b*x+c)=-x-2
[/mm]
Ehrlich gesagt konnte ich, auch wenn es richtig sein sollte (was ich irgendwie nciht glaube), nicht so ganz den weg nachvollziehen.
und was muss ich am ende multiplizieren?!
eigentlich hatte ich das mit den basen und so schon ganz gut drauf aber das is irgendwie komisch in der aufgabe.
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> Ok, ich habe das einfach mal so weiter gemacht und bin dann
> auf folgendes Ergebnis gekommen:
> [mm]L(a*x^2+b*x+c)=-x-2[/mm]
Hallo,
Du mußt genau sagen, was Du weitergemacht hast. So kann ich mir keinen Reim auf Dein Tun machen.
Ich denke nicht, daß Dein Ergebnis richtig ist, denn das Bild von [mm] a*x^2+b*x+c [/mm] sollte doch von a,b,c abhängen.
> Ehrlich gesagt konnte ich, auch wenn es richtig sein sollte
> (was ich irgendwie nciht glaube), nicht so ganz den weg
> nachvollziehen.
Du mußt konkreter werden. Wo genau hakt es?
> und was muss ich am ende multiplizieren?!
Was meinst Du genau? Dies:
>Multiplizierst Du $ [mm] L_{B_1} [/mm] $ mit einem Koordinatenvektor bzgl $ [mm] B_1, [/mm] $ so erhältst Du sein Bild unter der Abbildung L in Koordinaten bzgl $ [mm] B_1. [/mm] $
Deine eigentliche Frage zielte ja auf die Bedeutung der Matrix [mm] L_{B_1}.
[/mm]
Wenn Du das Bilf z.B. von [mm] 2v_1+3v_2+v_3 [/mm] wissen willst, so mußt Du [mm] L_{B_1}*\vektor{2\\3\\1} [/mm] rechnen. Ich hab jetzt keine Lust, das auszurechnen und hinzuschreiben.
Sagen wir, Du hast als Ergebnis [mm] \vektor{r\\s\\t}.
[/mm]
Weil die Matrix [mm] L_{B_1} [/mm] die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] B_1 [/mm] ist, ist das Ergebnis [mm] \vektor{r\\s\\t} [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_1, [/mm] also [mm] \vektor{r\\s\\t}_{(B_1)}.
[/mm]
Es ist [mm] \vektor{r\\s\\t}_{(B_1)}=rv_1+sv_2+tv_3.
[/mm]
> eigentlich hatte ich das mit den basen und so schon ganz
> gut drauf aber das is irgendwie komisch in der aufgabe.
"Irgendwie Komisch" läßt sich schlecht greifen. Vielleicht ist Dein Problem, daß es keine Abbildung aus dem [mm] \IIR^n [/mm] in [mm] den\IR^n [/mm] ist, sondern ein Endomorphismus zwischen Polynomräumen.
Und möglicherweise hast Du Koordinatenvektoren überhaupt nicht verstanden. Das wäre dann nachzuarbeiten.
Gruß v. Angela
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