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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 06.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sei f: [mm] R^3 [/mm] -> [mm] R^2 \Phi(\pmat{ x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \pmat{ 2x-3y \\ x-2y+z }
[/mm]
dann ist die Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen Basis:
[mm] \pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 }
[/mm]
wenn man nicht in die standartbasis sonder zum beispiel in die Basis B' = [mm] \{ \pmat{ 2 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 1 } \} [/mm] abbildet, dann ist die Darstellungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }
[/mm]
die Spalten sind die Koeffizienten mit denen man die Basisvektoren aus B' linear kombinieren muss um auf die Bilder der Basisvektoren aus A zu kommen.
ok soweit alles klar, wenn ich jetzt aber eine andere Basis für A wähle zum Beispiel:
A'= [mm] \{ \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 }, \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } \}
[/mm]
die abbildung des Vektors [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 } [/mm] müsste doch dann lauten:
[mm] \Phi (\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }) [/mm] = [mm] \Phi [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}x_ia'_i [/mm] ) = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i \Phi [/mm] (a'_i)
wobei [mm] x^t [/mm] = (0, 1/2 , 3/2 )
dann ist
[mm] \Phi (\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }) [/mm] = 0,5 [mm] \pmat{ -3 \\ -1 } [/mm] + 1,5 [mm] \pmat{ -1 \\ 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ -3 \\ -0,5 } [/mm]
aber wenn ich mit der Darstellungsmatix bezüglich der Standartbasen abbilde also:
[mm] \pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 } \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
also nicht der selbe Vektor ... aber wieso verändert sich denn [mm] \Phi [/mm] jetzt? wenn ich eine andere Basis in A zugrunde lege? deswegen müsste doch eine Vektor aus A trotzdem beide male auf den gleichen in B abgebildet werden ???????
danke für Hilfe !
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> Hallo,
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> sei f: [mm]R^3[/mm] -> [mm]R^2 \Phi(\pmat{ x \\ y \\ z})[/mm] = [mm]\pmat{ 2x-3y \\ x-2y+z }[/mm]
>
> dann ist die Darstellungsmatrix bezüglich der kanonischen
> Basis:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 }[/mm]
Hallo,
ja, richtig.
>
> wenn man nicht in die standartbasis sonder zum beispiel in
> die Basis B' = [mm]\{ \pmat{ 2 \\ 1 } , \pmat{ 1 \\ 1 } \}[/mm]
> abbildet, dann ist die Darstellungsmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 }[/mm]
Ja, das ist die Matrix, die man auf Vektoren bzgl. der Standardbasis anwendet, und welche einem dann die Bilder unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. B' liefert.
> ok soweit alles klar, wenn ich jetzt aber eine andere Basis
> für A wähle zum Beispiel:
>
> A'= [mm]\{ \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } , \pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 }, \pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 } \}[/mm]
>
> die abbildung des Vektors [mm]\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }[/mm] müsste doch
> dann lauten:
Was soll denn [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 } [/mm] für ein Vektor sein? Bzgl. der Standardbasis? Ich denke: ja, so meinst Du's.
Bzgl. der Basis A' hat er die Koordinaten [mm] \pmat{ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{2} }_{(A')}.
[/mm]
Was willst Du nun tun?
Willst Du die darstellende Matrix bzgl der Basis A aufstellen? Bzgl welcher Basis soll das Bild gliefert werden.
Ich blicke nicht durch, was Du tun willst.
Vielleicht formulierst Du das erstmal in Worten - nicht zuletzt hilft es auch Dir, Dir rechenschaft drüber abzulegen, wo Du eigentlich hinwillst.
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Vielleicht blick' ich doch durch. (Mußt Du es eigentlich Dir und anderen mit den [mm] x_i [/mm] und [mm] a_i'so [/mm] schwer machen? Soviel schreibarbeit ist das doch auch nicht, wenn man's deutlich hinschreibt. Und es ist besser zu kapieren.
>
> [mm]\Phi (\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 })[/mm] = [mm]\Phi[/mm] (
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x_ia'_i[/mm] ) = [mm]\summe_{i=1}^{n}x_i \Phi[/mm] (a'_i)
>
> wobei [mm]x^t[/mm] = (0, 1/2 , 3/2 )
Wir hatten also [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 } =\pmat{ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{2} }_{(A')}= 0*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 } [/mm] + [mm] \\bruch{3}{2}*\pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 }.
[/mm]
Und davon willst Du jetzt das Bild bestimmen.
>
> dann ist
>
> [mm]\Phi (\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 })[/mm] = 0,5 [mm]\pmat{ -3 \\ -1 }[/mm] + 1,5
> [mm]\pmat{ -1 \\ 0 }[/mm] = [mm]\pmat{ -3 \\ -0,5 }[/mm]
Es ist (warum eigentlich bei Dir plötzlich [mm] \Phi [/mm] ?)
[mm] f(\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }) [/mm] =f( [mm] 0*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 } [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}*\pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 })
[/mm]
[mm] =0*f(\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] )+ [mm] \bruch{1}{2}*f(\pmat{ 0 \\ 1 \\ 2 }) [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}*f(\pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 })
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\pmat{ -3 \\0 } [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}\pmat{1 \\0 }= \vektor{0\\0}
[/mm]
Anscheinend hast Du einfach falsch gerechnet - mal abgesehen davon, daß mir nicht klar ist, wofür Du die Basis A' eingeführt hast.
Ich nehme ja mal an, daß Du eigentlich für A' die darstellende Matrix aufstellen solltest:
Berechne die Bilder der Basisvekoren von A, steck si als Spalten in eine Matrix.
Wenn Du diese matrix dann mit Vektoren in Koordinaten bzgl A' fütterst, liefert sie Dir die Bilder bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Diese Matrix multipliziert mit [mm] \pmat{ 0 \\ \bruch{1}{2} \\ \bruch{3}{2} }_{(A')} [/mm] ergibt also den Nullvektor.
Gruß v. Angela
P.S.: Das heißt Matrizen (ohne tz) und Standardbasis.
>
> aber wenn ich mit der Darstellungsmatix bezüglich der
> Standartbasen abbilde also:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 } \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> also nicht der selbe Vektor ... aber wieso verändert sich
> denn [mm]\Phi[/mm] jetzt? wenn ich eine andere Basis in A zugrunde
> lege? deswegen müsste doch eine Vektor aus A trotzdem beide
> male auf den gleichen in B abgebildet werden ???????
>
> danke für Hilfe !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 08.09.2008 | | Autor: | vivo |
danke!
war tatsächlich zu blöd zum rechnen, da gabs keine aufgabe ich sollte nix aufstellen war ein eigenes beispiel um mir was klar zu machen ...
danke gruß
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