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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 17.10.2010 | | Autor: | qwe123 |
| Aufgabe | Beweise folgendes:
nicht(für alle a∈ M : A(a)) ⇔ existiert ein a∈ M : (nicht A(a)) |
Vom Inhalt ist diese Aussage für mich verständlich und logisch. Jedoch habe ich Schwierigkeiten einen Beweis zu verfassen.
Wenn ich zb. schreibe A⇔B würde. Heißt das aus A folgt B und aus B folgt A. D.h. aus (nicht(für alle a∈ M : A(a))) folgt (existiert ein a∈ M : (nicht A(a))) und aus (existiert ein a∈ M : (nicht A(a))) folgt (nicht(für alle a∈ M : A(a))). Wie soll ich jedoch vorgehen um dies zu zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe es damals als gegeben hingenommen. Würde ich es beweisen müssen, dann würde ich wie folgt anfangen:
Sei M eine Menge
Induktion:
I-Anf: [mm]|M|=1[/mm] Also [mm]M=\{a\}[/mm]. trivialerweise : [mm]\neg A(a) \equiv \neg A(a)[/mm]
[mm]|M|=2[/mm] Also [mm]M=\{a_1,a_2\}[/mm]. Dann [mm]\neg (A(a_1)\wedge A(a_2))\equiv \neg A(a_1) \vee \neg A(a_2)[/mm]
(eventuell DeMorgan über Wahrheitstabelle)
Dann gibt es also mindestens ein [mm]a_i\in M[/mm], dass nicht die Eigenschaft [mm] $A(a_i)$ [/mm] erfüllt
...
(hier kommt noch der Induktionsschritt...)
Nicht umsonst kann man statt [mm]\forall[/mm] auch [mm]\bigwedge[/mm] schreiben. Es läuft also auf folgendes hinaus:
[mm]\neg (\bigwedge_{i=1}^{n} A(a_i)) \equiv \bigvee_{i=1}^{n} \neg A(a_i)[/mm]
mit [mm] $M=\{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}$
[/mm]
edit:Rechtschreibung editiert 
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