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de l'Hospital/sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 So 22.01.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital [mm] lim_{x->x0} [/mm] f(x) mit
[mm] x_0 [/mm] = 0; f(x) = [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm]

sinh (x) = [mm] \frac{e^x-(e)^{-x}}{2} [/mm]
cosh(x) = [mm] \frac{e^x+(e)^{-x}}{2} [/mm]

(sinh(x))'=cosh(x)
(sin(x))'=cos(x)

[mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2*cosh(2x)-2*cos(2x)}= \frac{\frac{e^x+(e)^{-x}}{2} - cosx}{e^{2x}+(e)^{-2x}- 2cos(2x)} [/mm]
wenn [mm] x->x_0 [/mm] geht ist der Limes gleich 0 oder?

LG

        
Bezug
de l'Hospital/sinh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 So 22.01.2012
Autor: Fulla


Hallo theresetom,

> Man berechne mittels der Regel von de l'Hospital
> [mm]lim_{x->x0}[/mm] f(x) mit
>  [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
>  sinh (x) = [mm]\frac{e^x-(e)^{-x}}{2}[/mm]
>  cosh(x) = [mm]\frac{e^x+(e)^{-x}}{2}[/mm]
>  
> (sinh(x))'=cosh(x)
> (sin(x))'=cos(x)
>  
> [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2*cosh(2x)-2*cos(2x)}= \frac{\frac{e^x+(e)^{-x}}{2} - cosx}{e^{2x}+(e)^{-2x}- 2cos(2x)}[/mm]
>  
> wenn [mm]x->x_0[/mm] geht ist der Limes gleich 0 oder?

Nein. Und lass die Exponentialfunktion mal weg, die brauchst du hier nicht.
Du hast einen Grenzwert der Form "[mm]\frac{0}{0}[/mm]". Wenn du Zähler und Nenner ableitest (das mit den Kosinüssen), hast du wieder die Form "[mm]\frac{0}{0}[/mm]", denn "[mm]\frac{cosh(0)-cos(0)}{2*cosh(0)-2*cos(0)}=\frac{0}{0}[/mm]". Wende jetzt nochmal L'Hospital an!

Du musst natürlich noch zeigen (oder zumindest begründen), dass du die Regel von L'Hospital überhaupt anwenden DARFST...


Lieben Gruß,
Fulla


Bezug
                
Bezug
de l'Hospital/sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:06 So 22.01.2012
Autor: theresetom

Ja das stimmt allerdings
Nochmals abgeleitet:
[mm] \frac{sinhx + sin x}{4*sinh(2x)+4*sin(2x)} [/mm]
bei [mm] x->x_0 [/mm]

Ist das nicht genauso 0/0 ?

Bezug
                        
Bezug
de l'Hospital/sinh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:40 So 22.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Ja das stimmt allerdings
>  Nochmals abgeleitet:
>  [mm]\frac{sinhx + sin x}{4*sinh(2x)+4*sin(2x)}[/mm]
> bei [mm]x->x_0[/mm]
>  
> Ist das nicht genauso 0/0 ?

Ja.

Also: nicht verzagen, weiterfahren !

LG   Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
de l'Hospital/sinh: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 22.01.2012
Autor: theresetom

$ [mm] x_0 [/mm] $ = 0; f(x) = $ [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)} [/mm] $ = 0/0

abgeleitet
$ [mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)} [/mm]
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)} [/mm] = 0/0

nochmals ableiten
$ [mm] \frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)} [/mm] $ =0/0

Nochmals abgeleitet
$ [mm] \frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)} [/mm] $
[mm] lim_{x->x_0} [/mm] $ [mm] \frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)} [/mm] $  = [mm] \frac{1+1}{8*1+8*1} [/mm]  = 2/16 = 1/8

ich hoffe so ist es okay ;)

Bezug
                                        
Bezug
de l'Hospital/sinh: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 So 22.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
>  [mm]lim_{x->x_0}[/mm]  [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm] =
> 0/0
>  
> abgeleitet
>   [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)}[/mm]
>  [mm]lim_{x->x_0}[/mm]
> [mm]\frac{cosh(x)-cos(x)}{2\cdot{}cosh(2x)-2\cdot{}cos(2x)}[/mm] =
> 0/0
>  
> nochmals ableiten
>  [mm]\frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)}[/mm]
>  
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm]  [mm]\frac{sinhx + sin x}{4\cdot{}sinh(2x)+4\cdot{}sin(2x)}[/mm]
> =0/0
>  
> Nochmals abgeleitet
>   [mm]\frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)}[/mm]
> [mm]lim_{x->x_0}[/mm]  [mm]\frac{coshx + cos x}{8\cdot{}cosh(2x)+8\cdot{}cos(2x)}[/mm]
>  = [mm]\frac{1+1}{8*1+8*1}[/mm]  = 2/16 = 1/8
>  
> ich hoffe so ist es okay ;)

[daumenhoch]  genau !

Noch eine Bemerkung zur Schreibweise des Limes in Latex:

     [mm]\limes_{x\to x_0}\ \frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]    (Klick auf die Formel !)

Schönen Nachmittag
Al-Chw.


Bezug
                                        
Bezug
de l'Hospital/sinh: Formalitäten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 So 22.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]x_0[/mm] = 0; f(x) = [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm]
>  [mm]lim_{x->x_0}[/mm]  [mm]\frac{sinh(x)-sin(x)}{sinh(2x)-sin(2x)}[/mm] =
> 0/0

das sollte man so nicht schreiben. Der Ausdruck [mm] $0/0\,$ [/mm] bleibt nach wie vor undefiniert. Entweder schreibst Du wenigstens [mm] $\ldots=$"$0/0\,$", [/mm] dann erkennt man, dass Du Dir bewußt bist, dass dieses [mm] "$0/0\,$" [/mm] hier nur etwas andeuten soll, oder Du schreibst (was ich besser finde):
"Beim Versuch, [mm] $\lim_{...}...$ [/mm] direkt zu berechnen, gelangt man erstmal auf einen Ausdruck der Form "$0/0$", so dass [mm] wir...$(\star)$ [/mm] "
  

> abgeleitet

Und das würde ich so auch nicht schreiben. Es kann verwirrend sein, ich würde dann nämlich erstmal denken, dass Du [mm] $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$ [/mm] benutzt. Führen wir also obigen Satz fort:
"... [mm] $(\star)$, [/mm] durch Ableiten der Zähler- und Nennerfunktion, im Hinblick auf Anwendung von de l'Hospital, auf die Berechnung des folgenden Grenzwertes kommen: ..."

Ich würde Dir auch alles, was Du geschrieben hast, nicht wirklich schlecht anrechnen. Die Frage ist nur - bei Deinen Formulierungen: Bist Du Dir sicher, dass Du, wenn Du, sagen wir mal in 10 Jahren nochmal, auf Deine Lösung guckst und vielleicht zwischendurch mal 5 Jahre nichts mit Mathe am Hut hattest, dass Dir klar ist, was Du da eigentlich getan hast? Oder wirst Du vielleicht doch erstmal da sitzen und sagen "Hm, eigentlich ist doch [mm] $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$... [/mm] was hab' ich da nochmal gerechnet?"

Meine Erfahrung zeigt, dass viele selbst erstmal ihre eigene Lösung nicht mehr ganz nachvollziehen können, weil sie nicht ganz sauber das formuliert haben, was sie meinten. Auch, wenn in dem Moment, wo man sich mit der Sache befaßt, man denkt: "Okay, das ist nicht ganz sauber, aber ich weiß ja, was ich tue!"
Ich finde, soviel extra Zeit kostet das nicht, einen Satz ein bisschen klarer zu formulieren, aber es kann einem viel Zeitkosten ersparen, wenn man das ganze irgendwann nochmal braucht.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                
Bezug
de l'Hospital/sinh: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 So 22.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Marcel,

du hast natürlich recht - und ich war mit dem flotten
"Daumenhoch" etwas sehr großzügig. Zuerst wollte
ich eigentlich nur schreiben, dass das Ergebnis stimmt ...

LG   Al

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