de l'Hospital / xln(x) < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Sa 22.01.2005 | | Autor: | fry2 |
Hallo Forum!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x*ln(1+ [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
Nach mehreren gescheiterten Versuchen suche ich nun verzweifelt die Lösung. Folgendes habe ich probiert:
Um lt Hospital eine [mm] \bruch{0}{0} [/mm] Form zu erhalten machte ich daraus einen Bruch: [mm] \bruch{\ln(1+\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
Da kam ich allerdings bald nicht weiter.
Eine Lösung mit der Produktregel bekam ich auch nicht hin. Kann mir bitte einer sagen, wie ich diese sicherlich einfache (jetzt-ist-es-nur-zu-spät-dafür) -Aufgabe lösen muss?! 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fry2,
> Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
>
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> [m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n*\ln \left( {1 + \frac{1}
{n}} \right)[/m]
Deine Idee mit l'Hospital ist richtig. Wenn man eine Variable gegen unendlich laufen läßt, so ist es doch genauso als wenn man irgendeine Zahl durch immer kleinere Werte teilt. Darum gilt:
[m]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n*\ln \left( {1 + \frac{1}
{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \frac{1}
{n}*\ln \left( {1 + n} \right)\mathop = \limits^{\begin{subarray}{l}
{\textrm{Jetzt benutzen}} \\
{\textrm{wir deine Idee}} \\
{\textrm{mit l'Hospital}}{\textrm{,}} \\
{\textrm{weil hier der}} \\
{\textrm{Fall }}\frac{0}
{0}{\textrm{ vorliegt.}} \\
\end{subarray}} \mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + n} \right)}}
{n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to 0} \frac{{\frac{1}
{{1 + n}}}}
{1} = 1[/m]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 22.01.2005 | | Autor: | fry2 |
Ist deine erste Umformung wirklich gleich?!
Ich habe das testweise mal mit n = 2 durch gerechnet, da bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse...
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> Ist deine erste Umformung wirklich gleich?!
> Ich habe das testweise mal mit n = 2 durch gerechnet, da bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse...
Hast Du den kleinere Werte wie z.B. [mm] $2*10^{-6}$ [/mm] ausprobiert?
Du mußt bedenken, daß wir hier den Grenzwert einer Folge betrachten und nicht einzelne Werte der Folge. Einzelne Werte können sich auch durchaus unterscheiden.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Siehe auch hier für ein ähnliches Problem.
Viele Grüße
Karl
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