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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 19.04.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | sei K ein körper und [mm] A=(a_{ij}) \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n,K).
zeigen sie dass dann gilt:
[mm] det(a_{ij})=det((-1)^{i+j} a_{ij}).
[/mm]
hinweis:weisen sie nach dass die abbildung [mm] M(n\times [/mm] n,K) [mm] \rightarrow [/mm] K
A [mm] \mapsto det((-1)^{i+j}a_{ij} [/mm] eine determinantenabbildung ist |
hallo
kann mir jemand sagen was mit [mm] det(a_{ij}) [/mm] gemeint ist?
soll das det(A) sein,oder die entwicklung nach irgendeiner zeile oder spalte?
gruß lenz
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> sei K ein körper und [mm]A=(a_{ij}) \in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n,K).
> zeigen sie dass dann gilt:
> [mm]det(a_{ij})=det((-1)^{i+j} a_{ij}).[/mm]
> hinweis:weisen sie
> nach dass die abbildung [mm]M(n\times[/mm] n,K) [mm]\rightarrow[/mm] K
> A [mm]\mapsto det((-1)^{i+j}a_{ij}[/mm] eine determinantenabbildung
> ist
> hallo
> kann mir jemand sagen was mit [mm]det(a_{ij})[/mm] gemeint ist?
Ich denke, hier ist gemeint: det(A) = det [mm] ((a_{ij})).
[/mm]
> soll das det(A) sein,oder die entwicklung nach irgendeiner
> zeile oder spalte?
> gruß lenz
Also hier meint man, wenn das Vorzeichen von jedem Eintrag [mm] a_{ij} [/mm] von + nach - bzw. von - nach + geändert wird, dass es sich weiterhin um eine Determinanten handelt, und zwar dieselbe Determinante mit demselben Wert:
also [mm] det((a_{ij})) [/mm] = [mm] det((-1)^{i+j}(a_{ij})).
[/mm]
Für den Beweis versuche die Formel von Leibnitz zu benutzen.
[mm] $det((a_{ij})) [/mm] = [mm] \summe_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\in perm(n)}sign((\sigma_1,\cdots,\sigma_n))a_{\sigma_1,1}\cdot...\cdot a_{\sigma_n,n}$ [/mm] .
Dann ist
[mm] $det((-1)^{i+j}(a_{ij})) [/mm] = [mm] \summe_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\in perm(n)}sign((\sigma_1,\cdots,\sigma_n))(-1)^{\sigma_1+1}a_{\sigma_1,1}\cdot...\cdot (-1)^{\sigma_n+n}a_{\sigma_n,n} [/mm] = ... $
Gruss,
logarithmus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Sa 19.04.2008 | | Autor: | lenz |
danke
ich werds versuchen
lenz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 20.04.2008 | | Autor: | briddi |
Wenn man die Aufgabe ohne Leibniz lösen möchte, sondern so wie in dem Hinweis angegeben,müsste es doch aber ausreichen die Determinanteneigenschaften Linearität,alternierend und normiert zu zeigen oder?
und wenn die gelten, dann folgt aus der Eindeutigkeit der Determinantenabbildung die Bahauptung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wenn man die Aufgabe ohne Leibniz lösen möchte, sondern so
> wie in dem Hinweis angegeben,müsste es doch aber ausreichen
> die Determinanteneigenschaften Linearität,alternierend und
> normiert zu zeigen oder?
Genau.
> und wenn die gelten, dann folgt aus der Eindeutigkeit der
> Determinantenabbildung die Bahauptung.
Ja, so ist es. Und das Nachrechnen ist hier nicht allzu schwer, hauptsaechlich ist's Schreibarbeit :)
LG Felix
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