detB und detA < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in K^{nxn} [/mm] und B jene Matrix, welche aus A entsteht, indem man die n Zeilen mit der Permutation [mm] \delta \in S_n [/mm] vertauscht. Beweisen Sie:
detB = [mm] sign(\delta) [/mm] * detA |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Mit der Aufgabe habe ich sehr große Schwierigkeiten.
A scheint erstmal eine quadratische Matrix zu sein.
B entsteht dadurch, dass man die Zeilen mit der mit der Permutation [mm] \delta \in S_n [/mm] vertauscht.
Meine Frage hiergleich dazu, heisst vertauschen gleich ersetzen? und wie sieht das mathematisch aus, ich kann mir da nichts drunter vorstellen.
Weiter weiß ich auch nicht, wie ich den Beweis führen soll, um die Determinante von B zu zeigen.
Wahrscheinlich muss ich die Determinante von A zeigen, was ich aber nicht weiß wie ich das machen soll, denn a hat ja im Prinzip n Spalten und mZeilen.
Meiner Meinung nach wäre das zu zeigen, die Defninition von Saurus,denn die ist doch eigentlich dazu da Determinanten auszurechnen.
wie sich dass mit dem [mm] sign(\delta) [/mm] verhält wieiß ich nicht , da ich mich auch nicht so gut mit Permutationen und zyklische Gruppen auskenne.
Kann mir jemand ein bischen Helfen , etwas Licht in die Sache zu bringen, und mir vielleicht einen Weg zeigen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Sei [mm]A\in K^{nxn}[/mm] und B jene Matrix, welche aus A entsteht,
> indem man die n Zeilen mit der Permutation [mm]\delta \in S_n[/mm]
> vertauscht. Beweisen Sie:
> detB = [mm]sign(\delta)[/mm] * detA
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> Mit der Aufgabe habe ich sehr große Schwierigkeiten.
>
> A scheint erstmal eine quadratische Matrix zu sein.
> B entsteht dadurch, dass man die Zeilen mit der mit der
> Permutation [mm]\delta \in S_n[/mm] vertauscht.
> Meine Frage hiergleich dazu, heisst vertauschen gleich
Vertauschen heißt genau das. Wenn Du die 3. und die 5. Zeile vertauschst, dann ist die 3. Zeile von B gleich der 5. Zeile von A und die 5. Zeile von B gleich der 3. Zeile von A. Alle anderen sind gleich.
> ersetzen? und wie sieht das mathematisch aus, ich kann mir
> da nichts drunter vorstellen.
Mathematisch erhältst Du das, indem Du A von links mit der Permutationsmatrix P multiplizierst.
B=PA
Wobei P eine Identitätsmatrix, bei der die entsprechenden Zeilen vertauscht wurden, ist. (überleg's Dir an einem Beispiel)
[mm] $\det [/mm] P = [mm] \pm [/mm] 1$
+1, falls eine gerade Anzahl von Vertauschungen durchgeführt wurde. -1 falls es eine ungerade Anzahl war. Das kannst Du Dir (relativ) leicht überlegen, indem Du nach Spalten entwickelst.
ciao
Stefan
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Können wir das mal an dem Beispiel machen :?
Sei A eine nxn Matrix
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3}
[/mm]
ich vertausche jetzt die zweite Zeile mit der dritten:
B:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2}
[/mm]
dann ist jetzt die dritte Zeile der Matrix B gleich der zweiten Zeile von A
Nach der Eklärung wäre jetzt B= PA Also hier wäre es so :
Einheitsmatrix mal A = B
also : [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}*\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3}= \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3} [/mm] ?
Habe ich was falsch gemacht?
Wenn ich es allgemein beweisen soll, wie wird es dann aussehen?
Ich meine beim Beweis muss ich es ja für alle möglichen Elemente zeigen, soll ich dann einfach auch eine Matrix nehmen die m und n Spalten hat, und führe die Schritte wie obdne aus? oder gibts da andere Möglichkeiten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Können wir das mal an dem Beispiel machen :?
>
> Sei A eine nxn Matrix
>
> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3}[/mm]
>
>
> ich vertausche jetzt die zweite Zeile mit der dritten:
>
> B:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2}[/mm]
>
> dann ist jetzt die dritte Zeile der Matrix B gleich der
> zweiten Zeile von A
>
>
> Nach der Eklärung wäre jetzt B= PA Also hier wäre es so :
>
> Einheitsmatrix mal A = B
Einheitsmatrix mal A ist wieder A. Das ist der Punkt der Einheitsmatrix.
Wie ich geschrieben habe, ist P eine Identitätsmatrix, bei der die entsprechenden Zeilen vertauscht wurden.
also : [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}*\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3}= B [/mm]
ciao
Stefan
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und dieses Produkt von PA=B rechne ich aus, und dann ermittel ich die Determinante von B
Und wenn ich die habe kann ich dann zeigen, dass diese gleich [mm] sign(\delta) [/mm] mal det A ist.
Wie ist das mit diesem sign, wie ist das zu verstehen, ich weiß nicht woher es kommt, und welche Zahl es ist, ist dass vielleicht die Anzahl der zyklen in einer Permutation?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Blech |
> und dieses Produkt von PA=B rechne ich aus, und dann
> ermittel ich die Determinante von B
>
Was ist die Determinante eines Produkts von Matrizen?
[mm] $sign(\delta)=\det [/mm] P$, es gibt Dir an, ob Du eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen durchgeführt hast.
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