det >0 => positiv definit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:43 Di 03.07.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei n [mm] \ge [/mm] 1 eine ganze Zahl, und sei
A = [mm] (a_{ij})_{1\le i;j \le n} \in M_n(\IR)
[/mm]
eine symmetrische Matrix.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
1. A ist positiv definit.
2. [mm] det(A_k) [/mm] > 0 für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n, wobei
[mm] A_k [/mm] := [mm] (a_{ij})_{1\lei;j\le k} \in M_k(\IR):
[/mm]
3. Alle Eigenwerte von A gehören zu [mm] \IR [/mm] >0.
Hinweis : Sie können die Aussage (2 =>1) durch Induktion nach n beweisen. |
Hallo,
ich habe offensichtlich die Vorlesung zu lange nicht nachbearbeitet,
gibt es irgendwelche leicht nachvollziehbaren Beweise?
ich habe noch keine Ahnung, wie ich irgendetwas zeigen soll.
das einzige was mir klar ist ist, das:
Alle EW (Eigenwerte) von A >0, A symmetrisch => A diagonalisierbar => Produkt der EWs = Determinante. also aus 3 folgt direkt 2
gibt es ähnliche Argumente für 2=> 1 und 1=>3?
1=> 3 müsste doch so gehen:
A symmetrisch => A normal => A diagonalisierbar.
A pos. Definit => [mm] \forall \lambda [/mm] auf der Hauptdiagonalen gilt, dass sie >0 sind
=> alle EW's sind auf der Spur von der Diagonalmatrix (ähnlich zu A) und alle sind >0 da auch diese Matrix pos. Definit.
wenn diese implikationen stimmen fehlt nur noch
2=>1.
Kann mir jemand eine Idee für 2=>1 geben, oder den beweis teilweise ausführen?
MfG
Cph
Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 05.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
