det versch. berechnungen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 17.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgende Determinante:
1 2 3 4
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1
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Hallo!
Ich hab mal eine allgemeine Frage anhand dieses Beispiels.
Ich kann ja über mehrere Methoden die Determinante berechnen,
bin noch anschlüssig, wann ich da welche am geschicktesten anwende.
variante 1: Eine Möglichkeit ist ja jeweils die komponenten der determinante hinzuschreiben und dann nebendran nocheinmal die selben einträge,
und dann jeweils wie beim kreuzprodukt von links oben nach rechts unten mal nehmen und mit plus adieren, und von rechts oben nach links oben malnehmen und aber substrahieren.
Variante 2: es so aufzuschreiben:
[mm] 1*\vmat{ 1 & 2 &3 \\ 4 & 1 & 2 \\3 & 4& 1 } [/mm] -4* [mm] \vmat{ 2& 3 &4 \\ 4 & 1 & 2 \\3 & 4& 1 }+3*\vmat{ 2 & 3 &4 \\ 1 & 3 & 3 \\3 & 4& 1 } [/mm] - 2* [mm] \vmat{ 2 & 3 &4 \\ 1 & 2 & 3 \\4 & 1& 2 } [/mm] und dann das ganze nochmal, und dann jeweils kreuzen.
hat aber das problem, dass man da leicht fehler macht und mit den vorzeichen ist es auch nciht so leicht.
ich weiss, dass es noch eine möglichkeit gibt mit zeilen streichen oder nullzeilen bilden.
kann mir das jemand anhand der obigen matrix zeigen?
vielen dank
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Hallo
zu 1: das funktioniert meines Wissens nur noch gut bei 3*3 Matrizen.
zu 2: das Ganze nennt sich Laplace-Entwicklung .Und die kann man für Zeilen oder Spalten analog durchführen ...bleibt aber eig. die gleiche Rechnung.
zu 3: wie überprüfst du denn zB ob die Determinante nicht 0 ist ?
Man kann jede Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf eine Diagonalmatrix bringen. Was ist dann die Det für eine solche Matrix?
Gruß Moritz
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 So 17.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ich glaube nicht, dass deine aussage zu 3. stimmt!
man kann nicht jede matrixmit elementaren zeilenumformungen auf eine diagonalmatrix bringen, wenn wir die gleiche definitionvon diagonalmatrix haben.
diagonalmatrix meint ja, dass alle einträge 0 sind, bis auf die der diagonalen.
die determinante davon ist das produkt aus allen einträgen der hauptdiagonalen.
aber muss ich bei der umformung nicht immer beachten, dass die determinante bei z.b. zeilentausch in der matrix den faktor minus 1 jeweils hinzubekommt?
und wenn ich beispielsweise eine zeilenumformung mache mit: 2*zeile 1-Zeile 2 wie ändert sich da die determinante?
vielen dank für das beantworten meiner fragen!
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Sorry, ich meinte obere Dreiecksmatrix , nicht Diagonalmatrix !!!
Ja, du hast Recht , dass sich das Vorzeichen bei Zeilentausch ändert.
Bei deinem Bsp. müsste es 2*Det(...) sein (glaube ich).
Das alles folgt aber aus der Multilinearität der Form...schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29
Aber als praktische Berechnung würde ich hier auch Laplace zu Rate ziehen !
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 17.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
hab noch 2 fragen dazu,
und zwar die determinante einer dreiecksmatrix ist dann jeweils auch das produt der elemente auf der hauptdiagonalen oder?
zu einem teil des wikiartikels habe ich nun noch eine frage, und zwar steht dort:
Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauß-Algorithmus unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:
* Ist A eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von A.
* Falls B sich aus A ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist detB = − detA
* Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist detB = detA.
* Falls B sich aus A ergibt, indem man ein c-faches einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist [mm] \det B=c\cdot \det [/mm] A.
wenn cih nun eine zeile *3 nehme und zu einer anderen spalte hinzuadiere.
dann weiter rechne, und
dann irgendwann nochmal eine andere zeile mal 2 nehme und zu einer anderen zeile adiere.
ist dann immer noch detAnfang=detEnde ???
irgendwie iriitiert mich das, weil dann würde ja nur zeilenvertauschen einfluss auf die determinante haben und nicht, inwieweit ich einzelne zeilen miteinander adiere und multipliziere....???
danke für die hilfe!
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Hi
1. Ja, die det einer oberen dreiecksmatrix ist auch das produkt der diag.elemente.
2. Wenn man das r-fache einer zeile auf eine andere zeile addiert, so ändert sich die det nicht ! Das ergibt sich elementar aus den eigenschaften von det (normierte, alternierende multilinearform. ein beweis steht in so gut wie jedem LA buch). du musst aber unterscheiden , ob du das r-fache einer zeile auf eine andere zeile addierst , oder ob du eine zeile mal r nimmst...das sind 2 paar schuhe ! im ersten fall multiplizeirst du die zeile ja nur "im hinterkopf" mit r, addierst sie dann zu der naderen , lässt sie aber unangetastet.
schau dir einnfach mal den theoretischen aufbau der det an . hierzu kann ich auch "prüfungstrainer LA" von Rolf Busam empfehlen.
Hoffe das hilft... gruß moritz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Mo 18.01.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok danke!
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