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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 13.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper.
1) Beweisen Sie, wenn [mm] A \in M_{22}(K) [/mm] weder invertierbar noch nilpotent ist, dann ist A diagonalisierbar.
2) Geben Sie ein Beispiel dafür, dass die in 1. gemachte Aussage in der Regel falsch ist, wenn [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] und [mm] n \ge 3 [/mm] ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
hier ist mein Ansatz:
Wenn A nilpotent wäre, dann wäre der Rang 1 und A wäre nicht diagonalisierbar.
Wenn A invertierbar wäre, könnte ich A in die Einheitsmatrix umformen, die eine Diagonalmatrix ist.
Jetzt weiss ich nicht, wie ich das zusammen bekomme.
Und was ist bei einer 3x3 Matrix dann anders (ausser einer Spalte und einer Zeile mehr) ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 So 13.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei K ein Körper.
> 1) Beweisen Sie, wenn [mm]A \in M_{22}(K)[/mm] weder invertierbar
> noch nilpotent ist, dann ist A diagonalisierbar.
> 2) Geben Sie ein Beispiel dafür, dass die in 1. gemachte
> Aussage in der Regel falsch ist, wenn [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm] und [mm]n \ge 3[/mm]
> ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> hier ist mein Ansatz:
> Wenn A nilpotent wäre, dann wäre der Rang 1 und A wäre
> nicht diagonalisierbar.
Wieso waer der Rang 1?
> Wenn A invertierbar wäre, könnte ich A in die
> Einheitsmatrix umformen, die eine Diagonalmatrix ist.
> Jetzt weiss ich nicht, wie ich das zusammen bekomme.
Gar nicht.
Versuch's mal anders. Wie sieht denn die Jordansche Normalform von $A$ aus bzw. wie kann sie aussehen? Was bedeutet nicht nilpotent? Und was bedeutet nicht invertierbar?
> Und was ist bei einer 3x3 Matrix dann anders (ausser einer
> Spalte und einer Zeile mehr) ?
Wieder: schau dir die Jordansche Normalform an. Bei der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix folgen aus den Eigenschaften sofort gewisse Bedingungen, die bei einer $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix nicht folgen. (Z.B. folgt aus zwei verschiedenen Eigenwerten schon die Diagonalisierbarkeit, bei einer $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix ist das nicht so.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 13.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> > Wenn A nilpotent wäre, dann wäre der Rang 1 und A wäre
> > nicht diagonalisierbar.
>
> Wieso waer der Rang 1?
Ich dachte, dass man jede nilpotente Matrix in die nilpotente Normalform überführen kann, die ja nur Einträge über der Hauptdiagonalen hat und diesem Fall (2x2-Matrix) halt nur eine 1 rechts oben und damit Rang 1.
Stimmt das nicht ?
>
> > Wenn A invertierbar wäre, könnte ich A in die
> > Einheitsmatrix umformen, die eine Diagonalmatrix ist.
> > Jetzt weiss ich nicht, wie ich das zusammen bekomme.
>
> Gar nicht.
Durch elementare Zeilenumformung zur Einheitsmatrix ?
> Versuch's mal anders. Wie sieht denn die Jordansche
> Normalform von [mm]A[/mm] aus bzw. wie kann sie aussehen? Was
> bedeutet nicht nilpotent? Und was bedeutet nicht
> invertierbar?
Jordansche Normalform hat nur Nullen, ausser auf der Hauptdiagonalen.
Nilpotent bedeutet, dass der Eigenwert 0 ist, damit nicht diagonalisierbar.
Aber so richtig weiter komme ich nicht.
>
> > Und was ist bei einer 3x3 Matrix dann anders (ausser einer
> > Spalte und einer Zeile mehr) ?
>
> Wieder: schau dir die Jordansche Normalform an. Bei der [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix
> folgen aus den Eigenschaften sofort gewisse Bedingungen,
> die bei einer [mm]3 \times 3[/mm]-Matrix nicht folgen. (Z.B. folgt
> aus zwei verschiedenen Eigenwerten schon die
> Diagonalisierbarkeit, bei einer [mm]3 \times 3[/mm]-Matrix ist das
> nicht so.)
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> > > Wenn A nilpotent wäre, dann wäre der Rang 1 und A wäre
> > > nicht diagonalisierbar.
> >
> > Wieso waer der Rang 1?
> Ich dachte, dass man jede nilpotente Matrix in die
> nilpotente Normalform überführen kann, die ja nur Einträge
> über der Hauptdiagonalen hat und diesem Fall (2x2-Matrix)
> halt nur eine 1 rechts oben und damit Rang 1.
> Stimmt das nicht ?
Hallo,
sie könnte rechts oben auch eine Null haben.
Entscheidend ist hier aber, daß eine nilpotente Matrix nxn_Matrix genau den n-fachen Eigenwert 0 hat,
im 2x2-Fall wäre das charakteristische Polynom [mm] p(x)=x^2.
[/mm]
Welche charakteristischen Polynome kommen für eine 2x2-Matrix, die nicht nilpotent ist, dann infrage?
> Durch elementare Zeilenumformung zur Einheitsmatrix ?
Mit elementaren Zeilenumformungen können wir hier wenig anfangen.
Wenn die 2x2-Matrix nicht invertierbar ist, was bedeutet das dann für die Dimension des Kerns?
Folglich für die Eigenwerte?
Wie kann ihr charakteristisches Polynom aussehen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 13.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hall Angela,
vielen Dank für Deine Erklärung !
> im 2x2-Fall wäre das charakteristische Polynom [mm]p(x)=x^2.[/mm]
>
> Welche charakteristischen Polynome kommen für eine
> 2x2-Matrix, die nicht nilpotent ist, dann infrage?
Das char. Polynom kann dann (T-a)(T-b) oder [mm] (T-a)^2 [/mm] oder T(T-a) sein.
> Wenn die 2x2-Matrix nicht invertierbar ist, was bedeutet
> das dann für die Dimension des Kerns?
dim V = dim Bild + dim Kern
Dann ist dim Kern > 0.
> Folglich für die Eigenwerte?
Puh, so richtig verstehe ich den Zusammenhang noch nicht.
Also, wenn die Anzahl der Eigenvektoren zu den Eigenwerten der Dimension 4 entspricht, dann ist die Matrix invertierbar, aber auch diagonalisierbar.
Damit A nicht invertierbar ist, müssen die Eigenwerte weniger Eigenvektoren als 4 liefern - oder ?
So richtig komme ich nicht weiter.
Danke, Susanne.
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> Hall Angela,
> vielen Dank für Deine Erklärung !
>
> > im 2x2-Fall wäre das charakteristische Polynom [mm]p(x)=x^2.[/mm]
> >
> > Welche charakteristischen Polynome kommen für eine
> > 2x2-Matrix, die nicht nilpotent ist, dann infrage?
> Das char. Polynom kann dann (T-a)(T-b) oder [mm](T-a)^2[/mm] oder
> T(T-a) sein.
Hallo,
ja, genau.
>
> > Wenn die 2x2-Matrix nicht invertierbar ist, was bedeutet
> > das dann für die Dimension des Kerns?
> dim V = dim Bild + dim Kern
> Dann ist dim Kern > 0.
Das bedeutet doch, daß es ein [mm] v\not=0 [/mm] gibt mit Av=0=0*v.
Welchen Eigenwert hat also eine nicht invertierbare Matrix stets?
Wie kann also das charakteristische Polynom einer nichtinvertierbaren 2x2-Matrix aussehen?
Wenn Du das weißt, guckst Du, wie das charakteristische Polynom einer nichtinvertierbaren Matrix, die gleichzeitig nicht nilpotent ist, aussehen kann.
Wenn Du das hast, bist Du weit.
> > Folglich für die Eigenwerte?
> Puh, so richtig verstehe ich den Zusammenhang noch nicht.
> Also, wenn die Anzahl der Eigenvektoren zu den Eigenwerten
> der Dimension 4 entspricht, dann ist die Matrix
> invertierbar, aber auch diagonalisierbar.
Nein. Du betrachtest eine 2x2-Matrix, also brauchst Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren.
Such erstmal das Polynom, und dann erinnere Dich daran, was mit nxn-Matrizen, die n paarweise verschiedene Eigenwerte haben, ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 13.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen, vielen Dank für Deine Mühe !
Ich glaube allerdings, ich stehe gerade auf dem Schlauch.
> > > Wenn die 2x2-Matrix nicht invertierbar ist, was bedeutet
> > > das dann für die Dimension des Kerns?
> > dim V = dim Bild + dim Kern
> > Dann ist dim Kern > 0.
>
> Das bedeutet doch, daß es ein [mm]v\not=0[/mm] gibt mit Av=0=0*v.
>
> Welchen Eigenwert hat also eine nicht invertierbare Matrix
> stets?
Mindestens einen Eigenwert ungleich 0 mit einem Eigenvektor ?
Den Zusammenhang verstehe ich noch nicht.
>
> Wie kann also das charakteristische Polynom einer
> nichtinvertierbaren 2x2-Matrix aussehen?
T(T-a) ?
>
> Wenn Du das weißt, guckst Du, wie das charakteristische
> Polynom einer nichtinvertierbaren Matrix, die gleichzeitig
> nicht nilpotent ist, aussehen kann.
Auch T(T-a) ?
> Wenn Du das hast, bist Du weit.
>
> > > Folglich für die Eigenwerte?
> > Puh, so richtig verstehe ich den Zusammenhang noch
> nicht.
> > Also, wenn die Anzahl der Eigenvektoren zu den
> Eigenwerten
> > der Dimension 4 entspricht, dann ist die Matrix
> > invertierbar, aber auch diagonalisierbar.
>
> Nein. Du betrachtest eine 2x2-Matrix, also brauchst Du zwei
> linear unabhängige Eigenvektoren.
>
> Such erstmal das Polynom, und dann erinnere Dich daran, was
> mit nxn-Matrizen, die n paarweise verschiedene Eigenwerte
> haben, ist.
LG und vielen Dank, Susanne.
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> > Wie kann also das charakteristische Polynom einer
> > nichtinvertierbaren 2x2-Matrix aussehen?
> T(T-a) ?
Hallo,
ja, das wäre die eine Möglichkeit.
Die andere wäre, daß 0 ein doppelter EW ist, also charakteristisches Polynom [mm] T^2.
[/mm]
> >
> > Wenn Du das weißt, guckst Du, wie das charakteristische
> > Polynom einer nichtinvertierbaren Matrix, die gleichzeitig
> > nicht nilpotent ist, aussehen kann.
> Auch T(T-a) ?
Ja. Denn [mm] T^2 [/mm] kommt nicht infrage, sonst hätte man ja eine nilpotente matrix.
> > Wenn Du das hast, bist Du weit.
Nun sammeln wir.
Du hast eine 2x2-Matrix mit den beiden verschiedenen (!) Eigenwerten 0 und a.
Nun mußt Du nur noch den Satz im Skript finden, der Dir sagt, daß hieraus Diagonalisierbarkeit folgt.
Alternativ kannst Du Dir überlegen, daß zu jedenm EW ein EV gehört, daß EVen zu zwei verschiedenen EW linear unabhängig sind und Du daher eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus Eigenvektoren hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 13.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
so langsam verstehe ich die Zusammenhänge. VIELEN DANK !
Trotzdem noch eine Frage:
Es gibt doch auch die Möglichkeit, dass ich zu einem Eigenwert keinen Eigenvektor habe.
Spielt das bei dieser Aufgabe (nicht nilpotent, nicht invertierbar -> diagonalisierbar) auch eine Rolle - z.B. in Bezug auf die Dimension des Kerns ?
LG und vielen Dank, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 13.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne
> Trotzdem noch eine Frage:
> Es gibt doch auch die Möglichkeit, dass ich zu einem
> Eigenwert keinen Eigenvektor habe.
Dann ist's kein Eigenwert. Schau dir mal die Definition von Eigenwert an, die setzt voraus dass es einen Eigenvektor gibt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Mo 14.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ok, verstanden, vielen vielen Dank !
LG, Susanne.
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