diagonalisierbarkeit Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
kann mir jemand mit Hilfe eines Beispiels erklären, wann eine Matrix diagonalisierbar und wann eine Matrix trigonalisierbar ist ?
Ich hab mir dazu schon mehrere Definitionen angeschaut, aber ich verstehs einfach nicht, und ich hab bislang keine gute Beispielrechnung dazu gefunden, wäre echt super wenn mir hier jemand helfen könnte
Liebe Grüße
Nadine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mi 15.02.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Nadine!
Also, eine Matrix über dem Köper K ist trigonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt. Ein Beispiel: Eine Matrix mit reellen Einträgen habe das charakteristische Polynom [mm] $(\lambda-1)*(\lambda^2+1)$ [/mm] Da wir uns im Reellen befinden, hat dieses Polynom nur eine Nullstelle, nämlich 1. Der hintere Faktor lässt sich nicht weiter zerlegen, ist aber offensichtlich kein Linearfaktor. Also wäre die entsprechende Matrix nicht trigonalisierbar.
Angenommen, eine Matrix im komplexen habe das gleiche charakteristische Polynom. Im Komplexen lässt sich der Faktor [mm] $(\lambda^2+1)$ [/mm] zerlegen in [mm] $(\lambda-i)(\lambda+i)$ [/mm] (wobei [mm] $i^2=-1$). [/mm] Wir haben nun also drei Nullstellen: 1, i und -i. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren: [mm] $(\lambda-1)*(\lambda-i)*(\lambda+i)$
[/mm]
Über [mm] $\IC$ [/mm] ist die Matrix also diagonalisierbar, wobei dann auf der Diagonalen 1, i und -i stehen.
Nun zu diagonalisierbar: Die erste Bedingung hierfür ist, dass die Matrix trigonalisierbar ist, das heißt gleiche Bedingung wie oben. Allerdings kommt hier noch eine weitere Bedingung dazu: Algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte müssen übereinstimmen. Am Beispiel von oben: Über [mm] $\IC$ [/mm] ist die Matrix trigonalisierbar, erste Bedingung ist also erfüllt. Die algebraische Vielfachheit der drei Eigenwerte (1, i und -i) ist jeweils 1 (alle drei sind nur einfache Nullstellen des char. Polynoms). Da für die geometrische Vielfachheit immer gilt: [mm] $1\le \text{geom.Vielf.} \le \text{alg.Vielf.}$ [/mm] sind hier also auch die geometrischen Vielfachheiten immer 1. Die zweite Bedingung ist also auch erfüllt, somit ist die Matrix über [mm] $\IC$ [/mm] nicht nur trigonalisierbar, sondern auch diagonalisierbar.
Anderes Beispiel: Eine reelle Matrix habe jetzt das char. Polynom [mm] $(\lambda-1)^2*(\lambda+2)$ [/mm] Das Polynom zerfällt über [mm] $\IR$, [/mm] also ist die Matrix trigonalisierbar. Der Eigenwert -2 ist wieder unproblematisch nach der obigen Argumentation. Der Eigenwert 1 hat aber algebraische Vielfachheit 2, denn er ist eine doppelte Nullstelle des char. Polynoms. Hier muss mal also die geometrische Vielfachheit konkret berechnen, das heißt die Dimension des zugehörigen Eigenraums bestimmen. Ist die nur 1, ist die Matrix nicht diagonalisierbar, wenn sie 2 ist, aber schon.
Ich hoffe, ich konnte dir damit weiterhelfen! 
Gruß taura
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