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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 09.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Mal wieder was aus der Vorlesung...
Wir haben notiert:
Y heißt dicht im metr. Raum X, falls [overline]Y[/overline] = X. m. a. W. [mm] \forall f\in [/mm] X, [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists g\in [/mm] Y: [mm] d(f,g)\le\epsilon
[/mm]
Nun soll [overline]Y[/overline] wohl der Abschluss sein, was das ist, hatte ich wieder vergessen und musste es erst nachschlagen. So fand ich dann: "Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält." Quasi sind dann die Randpunkte der Abschluss, oder? Und das nennt man doch auch einfach Rand, oder verwechsel ich da jetzt was?
Jedenfalls würde ich dann die Definition von dicht so deuten:
Y heißt dich in X, falls ganz Y in X enthalten ist, bzw. sogar =X ist. Oder muss dann nur der Rand =X sein?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane,
> Hallo!
> Mal wieder was aus der Vorlesung...
> Wir haben notiert:
> Y heißt dicht im metr. Raum X, falls
> [overline]Y[/overline] = X. m. a. W. [mm]\forall f\in[/mm] X,
Du wolltest wohl den Befehl [mm] [nomm]$\overline{Y}$[/nomm] [/mm] benutzen! 
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists g\in[/mm] Y: [mm]d(f,g)\le\epsilon
[/mm]
>
> Nun soll [overline]Y[/overline] wohl der Abschluss sein,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> was das ist, hatte ich wieder vergessen und musste es erst
> nachschlagen. So fand ich dann: "Eine Menge ist genau dann
> abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält."
> Quasi sind dann die Randpunkte der Abschluss, oder? Und das
> nennt man doch auch einfach Rand, oder verwechsel ich da
> jetzt was?
Da verwechselt du was: Da steht ja:
"Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält."
(vgl. auch ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge)
D.h. doch, dass der Rand in der Menge enthalten sein muss (d.h., ist [m]\partial M[/m] der Rand von $M$, so gilt:
$M$ ist abgeschlossen [mm] $\gdw$ $\partial [/mm] M [mm] \subset [/mm] M$).
(So, wie du es formuliert hast, hieße es:
$M$ ist abgeschlossen [mm] $\gdw$ $M=\partial [/mm] M$. Das stimmt aber nicht mit der Definition überein!)
Mal etwas anders ausgedrückt:
Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum und [mm] $M\subset [/mm] X$, so gilt:
[mm] $\overline{M}=M\cup \partial [/mm] M$, wobei [mm] $\partial [/mm] M$ der Rand von $M$ sein soll.
Es gilt jedenfalls:
[mm] $\overline{M}=M\cup [/mm] H(M)$, wobei $H(M)$ die Menge der Häufungspunkte von $M$ sind.
Weiteres dazu findest du z.B. hier:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf im Kapitel 9 (Du kannst da ruhig mal so alles ein bisschen durchlesen, ich denke, dass ist alles für dich von Interesse...)
Ich denke, danach solltest du die Definition besser verstehen. Aber mal so als Beispiel für eine dichte Menge:
[mm] $\IQ$ [/mm] ist dicht in [mm] $\IR$ [/mm] (mit der üblichen "Betragsmetrik"), weil
[mm] $\overline{\IQ}=\IR$.
[/mm]
Und ein Beispiel für eine nicht dichte Menge:
[mm] $\IZ$ [/mm] ist nicht dicht in [mm] $\IQ$, [/mm] weil z.B. [mm] $\frac{3}{4}\in \IQ$, [/mm] aber [mm] $\frac{3}{4}\notin \overline{\IZ}=\IZ$, [/mm] d.h. [mm] $\overline{\IZ}\not=\IQ$.
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Marcel!
> > Nun soll [overline]Y[/overline] wohl der Abschluss sein,
>
>
>
>
> > Quasi sind dann die Randpunkte der Abschluss, oder? Und
> das
> > nennt man doch auch einfach Rand, oder verwechsel ich da
>
> > jetzt was?
Also, was mich da etwas verwirrt hatte, war die Formulierung von Rand und Abschluss. Ich denke, es ist jetzt so richtig: Der Abschluss ist die Menge zusammen mit dem Rand (hast du ja auch unten noch geschrieben). Und wenn diese Menge gleich der anderen Menge ist, dann ist die erste dicht in der zweiten. (also, etwas unmathematisch und ungenau formuliert - also nicht wieder draufrumhacken  ) Also ist doch Abschluss das gleiche wie abgeschlossene Menge!?
> Ich denke, danach solltest du die Definition besser
> verstehen. Aber mal so als Beispiel für eine dichte
> Menge:
> [mm]\IQ[/mm] ist dicht in [mm]\IR[/mm] (mit der üblichen "Betragsmetrik"),
> weil
> [mm]\overline{\IQ}=\IR[/mm].
Aha - was ist denn der Rand von [mm] \IQ? [/mm] Nach diesem Beispiel müssten es ja alle irrationalen Zahlen sein?
Viele Grüße und dankeschön.
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 So 12.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Bastiane!
> Hallo Marcel!
>
> > > Nun soll [overline]Y[/overline] wohl der Abschluss
> sein,
> >
> >
> >
> >
> > > Quasi sind dann die Randpunkte der Abschluss, oder? Und
>
> > das
> > > nennt man doch auch einfach Rand, oder verwechsel ich
> da
> >
> > > jetzt was?
> Also, was mich da etwas verwirrt hatte, war die
> Formulierung von Rand und Abschluss. Ich denke, es ist
> jetzt so richtig: Der Abschluss ist die Menge zusammen mit
> dem Rand (hast du ja auch unten noch geschrieben). Und wenn
> diese Menge gleich der anderen Menge ist, dann ist die
> erste dicht in der zweiten. (also, etwas unmathematisch und
> ungenau formuliert - also nicht wieder draufrumhacken )
Ich denke/glaube/hoffe/vermute , dass du das richtige meinst.
> Also ist doch Abschluss das gleiche wie abgeschlossene
> Menge!?
Naja, es ist ja nicht jede Menge abgeschlossen. Schöner finde ich:
[mm] $(\star)$ [/mm] Der Abschluss [mm] $\overline{M}$ [/mm] einer Menge $M$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
Das meintest du aber vermutlich...
Im Skript steht das (glaube ich (irgendwo)) so (oder so ähnlich):
[m]\overline{M}=\bigcap_{\begin{matrix}M \subset A\\A\;abgeschlossen\end{matrix}} A[/m]
Naja, beliebige Schnitte abgeschlossener Mengen sind ja wieder abgeschlossen, daher passt die Formulierung von [mm] $(\star)$ [/mm] und die Formel mit den Schnitten...
> > Ich denke, danach solltest du die Definition besser
> > verstehen. Aber mal so als Beispiel für eine dichte
> > Menge:
> > [mm]\IQ[/mm] ist dicht in [mm]\IR[/mm] (mit der üblichen
> "Betragsmetrik"),
> > weil
> > [mm]\overline{\IQ}=\IR[/mm].
> Aha - was ist denn der Rand von [mm]\IQ?[/mm] Nach diesem Beispiel
> müssten es ja alle irrationalen Zahlen sein?
That's right:
[mm] $\partial \IQ=\IR\setminus\IQ$ [/mm]
> Viele Grüße und dankeschön.
> Bastiane
>
>
Viele Grüße
Marcel ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
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