die Umkehrregel ist unlogisch < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Mi 03.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Guten Abend,
Ich habe ein grosses Problem mit der Umkehrregel d.h. mit der Regel:
[mm] [f^{-1} [/mm] (y)]' = 1/[f(x)]'
Es ist wahrscheinlich nur ein kleines Problem, nur macht es mich wahnsinig, sodass ich sauer werde und es
noch weniger kapiere, darum frag ich mal hier. Der Wikipedia Artikel dazu erklärt alles nur kapier ich es
trotzdem nicht...das schöne Bildchen dort hab ich auch tausend mal angekukkt.
Ich mache mal ein Beispiel...
Die Funktion ist y = f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Die Umkehrfunktion ist y = +- [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Jetzt soll laut Formel 1/[2x] = [mm] \wurzel{x}' [/mm] sein, ist es aber nicht!
Natürlich hab ich mir Gedanken dazu gemacht, dass die Umkehrfunktion so lautet [mm] f^{-1} [/mm] (y) und nicht so [mm] f^{-1} [/mm] (x)
Also die Umkehrfunktion vom y-Wert...aber was ist damit eigentlich gemeint, hat man dass y und das x vertauscht
oder ist das nicht der Fall? Weil wenn man die Umkehrfunktion bildet, dann löst man ja f(x) nach x auf und tauscht(!)
dann y und x. Das verwirrt mich noch mehr!!!
Aufjedenfall hab ich es dann auch so probiert, was ja auch nicht ist:
1/[2x] = [mm] \wurzel{x^2}' [/mm] = x' - weil y ist ja [mm] x^{2} [/mm]
das hab ich auch noch probiert, was natürlich auch falsch ist:
1/[2x] = [mm] x^{2}'
[/mm]
naja..und 1/[2x] habich dann mal intergiert...da kommt ja ln(x)/2 raus...jetzt soll doch die Umkehrfunktion
ln(x)/2 geben...das soll mir mal einer erklären?! Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 Mi 03.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die Regel falsch.
[mm] f(f^{-1}(x))=x
[/mm]
beide Seiten abgeleitet:
[mm] f'(f^{-1}(x)'(f^{-1}(x))'=1 [/mm] : Kettenregel
[mm] (f^{-^1}(x))'=1/f'(f^{-1}(x))
[/mm]
dein Beispiel: [mm] f(x)=x^2 [/mm] ; f'(x)=2x [mm] f^{-1}(x)=wurzel{x}
[/mm]
also [mm] (\wurzel{x})'=1/2\wurzel{x}
[/mm]
Du hast geschrieben :
$ [mm] [f^{-1} [/mm] $ (y)]' = 1/[f(x)]'
aber dann bei der Anwendung 2 mal x
1/[2x] = $ [mm] \wurzel{x}' [/mm] $
richtig ist aber
1/[2y] = $ [mm] \wurzel{x}' [/mm] $
jetzt setz [mm] y=\wurzel{x} [/mm] ein und alles ist richtig.
(mit y und x geschrieben: y=f(x) [mm] x=f^{-1}(y)
[/mm]
differenziert: [mm] 1=(f^{-1}(y))'*y')
[/mm]
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:06 Mi 03.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke für die Zeitaufwände um diese Uhrzeit!
Ich denke ich werds kapieren...bin jetzt aber zu müde...
Abend
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