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| Aufgabe | [mm] z_{tt}=4*z_{xx}+2-2x
[/mm]
z(0,t)=z(1,t)=0
[mm] z(x,0)=z_t(x,0)=0 [/mm] |
und noch eine frage von mir zu diffgleichungen ...
aufgabenstellung steht da ... und dann wähle ich für den ansatz vom z
[mm] z=sum(z_k*sin(k*Pi*x))
[/mm]
als lösung bekomme ich für das [mm] z_k [/mm] das mit koeffizientenvergleich mit der fourierreihe geschehen soll [mm] z_k=1/(k*Pi)^3,
[/mm]
aber ich glaube nicht dass das richtig ist.
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ok, ich habs jetzt doch ... wenn ich es in meinen TI 92plus eingebe dann ist das ergebnis für [mm] z(x,t)=Summe(1/(k*Pi)^3*sin(k*Pi*x),1,unendlich) [/mm] eingesetzt in die diffgleichung $ [mm] z_{tt}=4\cdot{}z_{xx}+2-2x [/mm] $ richtig.
aber meine frage ist
wieso ignoriert mein taschenrechner dieses 2-2x ??
wenn ich die diffgleichung ohne 2-2x eingebe, also nur
$ [mm] z_{tt}=4\cdot{}z_{xx}$ [/mm] dann sagt der TI immer noch dass es wahr ist ... weiss vielleicht jemand eine antwort???
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blösinn ... das war die lösung ohne die AB,
mit AB macht das für mich jez gar keinen sinn mehr!!!
denn dann is alles null ... weiss wer wo der wurm drin ist???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 19.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo mathestudent25,
> [mm]z_{tt}=4*z_{xx}+2-2x[/mm]
> z(0,t)=z(1,t)=0
> [mm]z(x,0)=z_t(x,0)=0[/mm]
> und noch eine frage von mir zu diffgleichungen ...
>
> aufgabenstellung steht da ... und dann wähle ich für den
> ansatz vom z
> [mm]z=sum(z_k*sin(k*Pi*x))[/mm]
>
> als lösung bekomme ich für das [mm]z_k[/mm] das mit
> koeffizientenvergleich mit der fourierreihe geschehen soll
> [mm]z_k=1/(k*Pi)^3,[/mm]
Das ist nur die partikuläre Lösung der DGL
[mm]z_{k}''+\left(2*k*\pi\right)^{2}*z_{k}=\bruch{4}{k*\pi}[/mm]
Die Gesamtlösung ist
[mm]z_{k}\left(t\right)=C_{1}*\sin\left(2*\pi*t\right)+C_{2}*\cos\left(2*\pi*t\right)+\bruch{1}{\left(k*\pi\right)^{3}}[/mm]
Aus den Anfangsbedingungen
[mm]z_{k}\left(0) = z_{k}'\left(0\right)=0[/mm]
ergibt sich die spezielle Lösung für [mm]z_{k}\left(t\right)[/mm].
> aber ich glaube nicht dass das richtig ist.
>
> lg
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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jaja das schon, aber mit den vorgegebenen anfangsbedingungen ergibt sich doch für [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] = 0 und somit ist die spezielle die gesamtlösung, aber mein problem ist dass dann nix mehr passt ... weil alles null wird?!
und das will ich nicht =)
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Hallo mathestudent25,
> jaja das schon, aber mit den vorgegebenen
> anfangsbedingungen ergibt sich doch für [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] = 0
> und somit ist die spezielle die gesamtlösung, aber mein
> problem ist dass dann nix mehr passt ... weil alles null
> wird?!
Dann poste doch mal Deine bisherigen Rechenschritte.
> und das will ich nicht =)
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nun gut ...
es geht eigentlich um
4u_{xx}=u_{tt} mit
u(0,t)=t^2 und u(1,t)=0 und mit
u(x,0)=u_t(x,0)=0
dann habe ich das mit dem skript das du mir schon vorgeschlagen hast umgeformt und komme auf
u(x,t)=v(x,t)+z^*(x,t)
mein z^* ist mit diesem skript dieser uni aus graz = t^2-x*t^2
und v(x,t) berechne ich mit
v(x,t)=w(x,t)+z(x,t) mit
w_{tt}=4w_{xx}, w(0,t)=w(1,t)=0 , w(x,0)=w_t(x,0)=0
dann ist mein w(x,0) = 0 wenn ich mich nicht verrechnet habe.
und ansatz für das
$ z\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{z_{k}\left(t\right)\cdot{}\sin\left(k\cdot{}\pi\cdot{}x\right) $
und dann komme ich auf
$ z\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{1/(k^3Pi^3)\left(t\right)\cdot{}\sin\left(k\cdot{}\pi\cdot{}x\right) $
und laut anfangsbedingung
z(x,0)=z_t(x,0)=0
ist das alles null und das verstehe ich nicht ...
wooooo ist der fehler ... ich such ihn jez schon vooooll lang aber find ihn einfach nicht ...
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Hallo mathestudent25,
> nun gut ...
>
> es geht eigentlich um
> [mm]4u_{xx}=u_{tt}[/mm] mit
> [mm]u(0,t)=t^2[/mm] und u(1,t)=0 und mit
> [mm]u(x,0)=u_t(x,0)=0[/mm]
>
> dann habe ich das mit dem skript das du mir schon
> vorgeschlagen hast umgeformt und komme auf
> u(x,t)=v(x,t)+z^*(x,t)
> mein z^* ist mit diesem skript dieser uni aus graz =
> [mm]t^2-x*t^2[/mm]
> und v(x,t) berechne ich mit
> v(x,t)=w(x,t)+z(x,t) mit
> [mm]w_{tt}=4w_{xx},[/mm] w(0,t)=w(1,t)=0 , [mm]w(x,0)=w_t(x,0)=0[/mm]
> dann ist mein w(x,0) = 0 wenn ich mich nicht verrechnet
> habe.
>
> und ansatz für das
>
> [mm]z\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{z_{k}\left(t\right)\cdot{}\sin\left(k\cdot{}\pi\cdot{}x\right)[/mm]
> und dann komme ich auf
> [mm]z\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{1/(k^3Pi^3)\left(t\right)\cdot{}\sin\left(k\cdot{}\pi\cdot{}x\right)[/mm]
> und laut anfangsbedingung
> [mm]z(x,0)=z_t(x,0)=0[/mm]
> ist das alles null und das verstehe ich nicht ...
> wooooo ist der fehler ... ich such ihn jez schon vooooll
> lang aber find ihn einfach nicht ...
Nun, Du hast nach diesem Skript, das ich Dir vorgeschlagen habe:
[mm]z^{\*}\left(x,t\right)=t^{2}-x*t^{2}[/mm]
Dann ist
[mm]\varphi^{\*}\left(x,t\right)=\varphi\left(x,t\right)-z_{tt}^{\*}\left(x,t\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow \varphi^{\*}\left(x,t\right)=-z_{tt}^{\*}\left(x,t\right)[/mm]
, da es sich um eine homogene partielle DGL handelt.
Dann ergibt sich die neue partielle DGL zu:
[mm]v_{tt}=4*v_{xx}+\varphi^{\*}\left(x,t\right)[/mm]
mit
[mm]\varphi^{\*}\left(x,t\right)=2*\left(1-x\right)[/mm]
Diese partielle DGL hat homogene Randbedingungen.
Grus
MathePower
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$ [mm] z_{k}''+\left(2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)^{2}\cdot{}z_{k}=\bruch{4}{k\cdot{}\pi} [/mm] $
wie bis du auf die schöne form vom rechten teil der gleichung denn gekommen?
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Hallo mathestudent25,
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> [mm]z_{k}''+\left(2\cdot{}k\cdot{}\pi\right)^{2}\cdot{}z_{k}=\bruch{4}{k\cdot{}\pi}[/mm]
> wie bis du auf die schöne form vom rechten teil der
> gleichung denn gekommen?
Zum einen ist 2-2x in eine Fourierreihe entwickelt worden:
[mm]2-2x=\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{4}{k*\pi}*\sin\left(k*\pi*x\right)[/mm]
Zum anderen ist der Ansatz
[mm]z\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{z_{k}\left(t\right)*\sin\left(k*\pi*x\right)[/mm]
gewählt worden.
Dies wird in die partielle DGL eingesetzt,
dann erhält man für jedes [mm]z_{k}[/mm] eine DGL 2. Ordung.
Gruss
MathePower
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ich meine nur wie du auf das kommst ... ich komme auch auf das aber mit berechnen der ersten 10 koeffizienten und dann mit überlegen wie denn nun die form aussehen könnte ... dachte du hast da einen trick oder so ...
[mm] $\bruch{4}{k\cdot{}\pi} [/mm] $
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Hallo mathestudent25,
> ich meine nur wie du auf das kommst ... ich komme auch auf
> das aber mit berechnen der ersten 10 koeffizienten und dann
> mit überlegen wie denn nun die form aussehen könnte ...
> dachte du hast da einen trick oder so ...
> [mm]\bruch{4}{k\cdot{}\pi}[/mm]
Dahinter steckt die Formel zur Berechnung der Fourierkoeffizienten.
Es ist
[mm]\varphi\left(x,t\right)=2*\left(1-x\right)[/mm]
Dies wird nun in eine Fourierreihe entwickelt:
[mm]\varphi\left(x,t\right)=\summe_{k=1}^{\infty}{\varphi_{k}\left(t\right)*\sin\left(k*\pi*x\right)}}[/mm]
wobei
[mm]\varphi_{k}\left(t\right)=2*\integral_{0}^{1}{\varphi\left(x,t\right)*\sin\left(k*\pi*x\right) \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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